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Berührpunkt Ursprungsgerade und Polynom

Schüler

Tags: Berührpunkt, polynom, Ursprungsgerade

mcadam aktiv_icon

17:48 Uhr, 18.03.2019

Hallo zusammen!
Wir machen gerade ganzrationale Polynome durch und ich kapiere mal wieder gar nichts...
Und nächste Woche Klassenarbeit.

: (

Folgende Aufgabe:
Gegeben ist die Funktion

f (x) = - \frac{1}{4} x^{3} + x^{2}

Bestimmen Sie die Ursprungsgerade, die das Schaubild

K

von

f

außerhalb des Ursprungs berührt. Geben Sie den Berührpunkt an.

Meine Überlegung.
1. Ursprungsgerade geht durch

(0,0)

f (g) = m \cdot x + b \to

da die Gerade durch den Ursprung geht, fällt

b

weg, also

f (g) = m \cdot x

3. Der Berührpunkt müsste bei

f (x) = g (x)

sein?
4. Folglich

- \frac{1}{4} x^{3} + x^{2} = m \cdot x \to - \frac{1}{4} x^{3} + x^{2} - m \cdot x = 0

x

ausklammern:

x (- \frac{1}{4} x^{2} + x - m) = 0

x 1 = 0

7. im Klammer habe ich aber nun 2 Unbekannte?

x

UND

m ...

?

Kann mir jemand bitte weiterhelfen...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

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17:56 Uhr, 18.03.2019

Berühren bedeutet:

f (x) = g (x)

f' (x) = g' (x)

Ursprungsgeraden haben die Gleichung:

g (x) = m \cdot x

rundblick aktiv_icon

17:57 Uhr, 18.03.2019

.
"7. im Klammer habe ich aber nun 2 Unbekannte?

x

UND

m ...

? "

Ja

\to

und jetzt solltest du das

m

so ermitteln, dass die quadratische Gleichung

x^{2} - 4 x + 4 m = 0

nur genau eine Lösung hat ..

warum wohl ?
.

Atlantik aktiv_icon

18:24 Uhr, 18.03.2019

Alternative:

f (x) = - \frac{1}{4} x^{3} + x^{2}

f

(x) = - \frac{3}{4} x^{2} + 2 x

\frac{y - 0}{x - 0} = f

(x)

\frac{y}{x} = - \frac{3}{4} x^{2} + 2 x

y = - \frac{3}{4} x^{3} + 2 x^{2}

- \frac{1}{4} x^{3} + x^{2} = - \frac{3}{4} x^{3} + 2 x^{2}

\frac{1}{2} x^{3} - x^{2} = 0

x^{2} \cdot (\frac{1}{2} x - 1) = 0

x_{1,2} = 0

x_{3} = 2 \to y_{3} = . .

.

->Tangenten aufstellen

mfG

Atlantik

G r a p h e n :

mcadam aktiv_icon

18:29 Uhr, 18.03.2019

@Rundblick:
Danke schon mal!
Ich stehe auf dem Schlauch... wie löse ich diese Gleichung?
x-Ausklammern geht nicht...abc-Formel?

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18:34 Uhr, 18.03.2019

@ Atlantik: Danke ebenfalls...

Aber wie komme ich auf die "innere Gleichung?" f´(x)=

- \frac{3}{4} x^{2} + 2 x

?
Da muss ich gewaltig was verschlafen haben...

: (

Atlantik aktiv_icon

18:36 Uhr, 18.03.2019

x^{2} - 4 x + 4 m = 0

x^{2} - 4 x = - 4 m

Nun weiter mit der quadratischen Ergänzung.

mfG

Atlantik

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18:44 Uhr, 18.03.2019

x^{2} - 4 x = - 4 m

x^{2} - 4 x + 4 = - 4 m + 4

{(x - 2)}^{2} = - 4 m + 4

x-2=Wurzel aus (-4m+4)...??

Ich stehe voll auf dem Schlauch
Atlantik... kannst Du mir bitte auf die Sprünge helfen?

Atlantik aktiv_icon

18:50 Uhr, 18.03.2019

x - 2 = \pm \sqrt{- 4 m + 4}

Für die Tangente muss die Diskriminante

= 0

sein:

\sqrt{- 4 m + 4} = 0

m = . .

.

Der Berührpunkt ist nun auch da.

mfG

Atlantik

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19:06 Uhr, 18.03.2019

- 4 m + 4 = 0

- 4 m = - 4

m = 1

?

Heißt das, dass die gesuchte Ursprungsgerade eine Steigung von 1 hat...? Also Berührpunkt bei

- \frac{1}{4} x^{2} + x - 1 = 0

\*-4

x^{2} - 4 x + 4 = 0

{(x - 2)}^{2} = 0

x - 2 = 0

x = 2

Atlantik aktiv_icon

19:21 Uhr, 18.03.2019

So ist es.Aber schau mal bei:

18 : 50

Uhr,

18.03.2019

Da steht schon:

x - 2 = \pm \sqrt{- m + 4}

Die rechte Seite der Gleichung ist ja nun

= 0

.

Somit

x - 2 = 0

gilt

x = 2

für den Berührpunkt.

mfG

Atlantik

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08:14 Uhr, 19.03.2019

Danke Atlantik.
Kannst Du mir bitte noch zwei Punkte erläutern, damit ich das - hoffentlich- verstehe...?

1. Wie komme ich darauf, dass beim Berührpunkt die „Diskriminante“ 0 sein soll?
2. Wie kommt man auf die Gleichungen f´(x) und g´(x) ?
3. wie mache ich ein Wurzel-Zeichen bei Gleichungen? ;-)

Danke!

Atlantik aktiv_icon

12:11 Uhr, 19.03.2019

"1. Wie komme ich darauf, dass beim Berührpunkt die „Diskriminante“ 0 sein soll?"

Wenn die Diskriminante

\neq 0

ist, gibt es 2 Schnittpunkte.

"3. wie mache ich ein Wurzel-Zeichen bei Gleichungen? "

"sqrt25" ohne Anführungszeichen

\to \sqrt{25}

mfG

Atlantik

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12:23 Uhr, 19.03.2019

Vielen Dank!

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