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Berührpunkt und Tangente von 2 Funktionen

Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe

Tags: Berührpunkt, Funktion, Tangent

IND2015 aktiv_icon

17:00 Uhr, 24.11.2015

Hallo,

ich schreibe morgen einen Mathetest über Ableitungen und bin beim Lernen.
Im Buch habe ich eine, für mich sehr schwierige Aufgabe gefunden, diese lautet:

Zeigen Sie, dass sich die Graphen von

f (x) = x^{3} + 1

und

g (x) = x^{2} + x

in einem Punkt berühren, und geben Sie die gemeinsame Tangente an.

Ich habe versucht, die beiden Gleichungen zu setzen, um den Berührpunkt herauszufinden.
Also:

x^{3} + 1 = x^{2} + x

Dann habe ich die rechte Seite 0 gesetzt, das heißt alles auf die linke Seite bringen.

x^{3} + 1 - x^{2} + x = 0

Ab diesem Punkt komme ich nicht mehr weiter. Ich wollte dann die Substitution durchziehen.

Ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen.

Ich bedanke mich in Voraus.

Mit freundlichen Grüßen

IND2015

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

gaubes aktiv_icon

17:30 Uhr, 24.11.2015

Im allgemeinen kann man Gleichungen 3. Grades mit den Cardanischen Formeln lösen. Da du aber im Forum für Schüler bist, gehe ich davon aus, dass ihr das wie wir mit dem Taschenrechner machen dürft.
Ich kann das nur für den Ti-84Plus erklären, sollte aber mit anderen GTRarten ähnlich gehen.
Da gibt es ein "y=" Menü in dem man Funktionen, wie diese beiden eingeben kann und dann über "Calculation" den Schnittpunkt grafisch berechnen lassen kann.

abakus

18:47 Uhr, 24.11.2015

Hallo,
x²+x lässt sich in x(x+1) umformen.
Auch in x³+1 steckt der Faktor (x+1) drin.
Was der andere Faktor sein wird?
Polynomdivision!

IND2015 aktiv_icon

18:59 Uhr, 24.11.2015

Könnten Sie mir es vormachen ?

abakus

19:06 Uhr, 24.11.2015

Das bringt nichts, wenn ihr dieses Verfahren nicht gelernt habt.
Dashelb anders:
Wo sie sich berühren, haben sie nicht nur den gleichen Funktionswert, sondern auch den gleichen Anstieg.
Suche also nach Stellen, wo die erste Ableitung beider Funktionen den gleichen Wert hat.

IND2015 aktiv_icon

19:41 Uhr, 24.11.2015

Ich weiß nicht, was Sie meinen.

Atlantik aktiv_icon

19:58 Uhr, 24.11.2015

f (x) = x^{3} + 1 \to f

(x) = 3 x^{2}

g (x) = x^{2} + x \to g

(x) = 2 x + 1

f

(x) = g

(x)

...

.

Liefert 2 Punkte, einer davon ist der Berührpunkt der gemeinsamen Tangente.

mfG

Atlantik

Christian- aktiv_icon

20:05 Uhr, 24.11.2015

Sehr gut dargestellt Atlantic. Formeln und rechnungen Sagen viel mehr aus als rumsüffisieren. Icg habs verstanden

IND2015 aktiv_icon

20:06 Uhr, 24.11.2015

Also,

3 \cdot x^{2} = 2 \cdot x + 1

.

Wenn ich

z . B

3 \cdot x^{2} = 2 \cdot x + 1,

alles auf die linke Seite verschieben möchte, also:

3 \cdot x^{2} = 2 \cdot x + 1,

dann

- 1

3 \cdot x^{2} - 1 = 2 \cdot x,

dann

/ 2

1,5 \cdot x^{2} - 0,5 = x,

dann habe ich ja immer noch zwi x-Werte.
Können Sie mir dieses Phänomen erklären.

Atlantik aktiv_icon

20:10 Uhr, 24.11.2015

3 x^{2} = 2 x + 1 | - 2 x

3 x^{2} - 2 x = 1 | : 3

x^{2} - \frac{2}{3} x = \frac{1}{3}

Nun entweder mit der quadratischen Ergänzung ( der ich den Vorzug gebe) oder

x^{2} - \frac{2}{3} x - \frac{1}{3} = 0

mit der

p, q

Formel lösen.

mfg

Atlantik

abakus

20:22 Uhr, 24.11.2015

@ Christian

Du schon wieder.
Vorschlag zur Güte: Wenn ich Lust auf weitere altkluge Peinlichkeiten habe, lasse ich es dich wissen.

Cheerio!

Christian- aktiv_icon

20:28 Uhr, 24.11.2015

Süffisiere lieber nicht rum sondern hilf mit formeln und rechnungen .;-)

Roman-22

20:40 Uhr, 24.11.2015

Ist in der Tat ein wenig tricky, aber die Formel

a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) \cdot (a^{2} - + a b +^{2})

lernt man vielleicht doch noch im Zuge der Besprechung weiterer binomischer Formeln

Somit wird

x^{3} + 1 = x^{2} + x

[x^{3} + 1] - [x^{2} + x] = 0

[(x + 1) \cdot (x^{2} - x + 1)] - [(x + 1) \cdot x] = 0

(x + 1) \cdot (x^{2} - x + 1) - (x + 1) \cdot x = 0

(x + 1) \cdot (x^{2} - x + 1 - x) = 0

(x + 1) \cdot (x^{2} - 2 x + 1) = 0

(x + 1) \cdot {(x - 1)}^{2} = 0

Die beiden Funktionsgraphen haben also an zwei Stellen

(x_{0} = - 1

und

x_{1} = + 1)

einen gemeinsamen Punkt, doch wegen der Forderung nach Berührung kommt nur die doppelt zu zählende Stelle

x_{1} = 1

infrage.

R

IND2015 aktiv_icon

20:45 Uhr, 24.11.2015

Ich bedanke mich herzlich.

Vielen, vielen Dank.

Roman-22

20:50 Uhr, 24.11.2015

Fein!

Solltest du aber die von mir benutzte Formel nicht gelernt haben und auch nicht begründen können, warum

x^{3} + 1

durch

x + 1

restlos teilbar sein muss, dann solltest du vielleicht doch lieber dem raffinierten Vorschlag von Gast62 näher treten und die Stellen mit übereinstimmendem Anstieg untersuchen. Auch wenn du dich vorhin dabei so angestellt hast, als hättest du noch nie davon gehört, wie man quadratische Gleichungen löst.

R

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