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Berührpunkt zweier Funktionen bestimmen, Parameter

Schüler Kolleg, 12. Klassenstufe

Tags: Berührpunkt, Parameter

buffy333 aktiv_icon

22:33 Uhr, 09.04.2009

Aufgabe: Bestimmen Sie, wenn möglich, den Wert von t, für den der Graph der Funktion

f_{t} (x) = x^{2} - t x

, den Graphen von

g (x) = - x^{2} + 4

berührt. Bestimmen Sie auch die Koordinaten des Berührpunktes.

Lösung:
Da die beiden Graphen die gleiche Steigung besitzen, hab ich sie gle3ichgesetzt. Aber da habe ich in der ersten Funktion zwei Variablen. So komme ich nicht weiter. Kennt jemand die Lösung?

Danke schon mal im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

HP7289 aktiv_icon

22:46 Uhr, 09.04.2009

Im Berührpunkt gilt:

I:

f_{t} (x) = g (x)

II:

f_{t}' (x) = g' (x)

x^{2} - t x = - x^{2} + 4

2 x^{2} - t x - 4 = 0

x^{2} - \frac{t}{2} x - 2 = 0

x = \frac{t}{4} \pm \sqrt{\frac{t^{2}}{16} + 2} = \frac{t}{4} \pm \frac{1}{4} \sqrt{t^{2} + 32}

II:

2 x - t = - 2 x

4 x = t

x = \frac{t}{4}

Für ein

t

müssen nun die Werte übereinstimmen.

\frac{t}{4} \pm \frac{1}{4} \sqrt{t^{2} + 32} = \frac{t}{4}

t \pm \sqrt{t^{2} + 32} = t

\pm \sqrt{t^{2} + 32} = 0

t^{2} + 32 = 0

t^{2} = - 32

Die Graphen können sich also nicht berühren, da kein solches

t

existiert.

BjBot aktiv_icon

22:54 Uhr, 09.04.2009

Kürzer:

f(x)=g(x) <=> 2x²-tx-4=0 <=> x²-0,5tx-2=0 ---> Diskriminante D=0,0625t²+2>0 für alle t

Damit gibt es kein t, so dass D=0 gilt, wodurch es genau einen Berührpunkt gäbe.

buffy333 aktiv_icon

23:18 Uhr, 09.04.2009

Danke euch beiden. Die erste Rechnung leuchtet mir mehr ein. Viele Grüße

HP7289 aktiv_icon

01:41 Uhr, 10.04.2009

@BjBot: Von zwei gemeinsamen Punkten kann auch genau einer Berührpunkt sein.

puzzlerin aktiv_icon

15:59 Uhr, 22.11.2009

Hallo ich habe mal eine ganz ähnliche Frage, wie die davor:

Für jedes

t > 0

ist eine Funktion ft gegeben durch ft(x)=tx-x^3. Ihr Graph sei Kt.

A:Bestimme diejenige Kurve Kt, die den Graphen von g(x)=0,5(3x^2+7)berührt. Gebe die Koordinaten des Berührpunktes und die Gleichung der gemeinsamen Tangente.

Jetzt weiß ich, dass
ft(x)=

g (x)

sowie
ft'(x)=

g' (x)

die Bedingungen für den Berühpunkt sind.

Wenn ich das dann alles gleichsetzt, komm ich nur leider irgendwie zu keinem richtigen ergebnis, ich weiß auch nicht, was ich alles falsch mache.

vllt. kann mir jemand mal weiter helfen... werde meine Ansätze dann noch beifügen, muss nur gerade weg.

vielen danke schonmal :-)

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