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Berührungspunkte und Gleichungen der Tangenten bes

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra

 
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htc4eva

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21:14 Uhr, 28.05.2014

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Hallo Ihr Mathegenies, ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter und hoffe, dass Ihr mir etwas auf die Sprünge helfen könnt.

Die Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie die Koordinaten der Berührungspunkte und die Gleichungen der beiden Tangenten, die von Punkt P(5;4) ausgehend den Kreis x2+y2=9 berühren.
Mein Ansatz:

Da die Tangenten von Punkt P ausgehen, hat die Funktion für die Tangente folgende Form: y-4=m(x-5) mit Steigung m.

Berührungspunkt ist gleichzeitig der Schnittpunkt der Tangente und auf ihr senkrecht stehenden Funktion, die durch den Kreismittelpunkt geht. Also muss die Funktion folgende Form haben: y=(-1m)x

Steigung ist durch dydx definiert, somit ist die Steigung m=4-y5-x und -1m=x-54-y

Screenshot_2014-05-28-20-52-45

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
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Aurel

Aurel

21:19 Uhr, 28.05.2014

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Die 9 vom Kreis geht noch nicht in deine Überlegungen ein
Antwort
Aurel

Aurel

21:30 Uhr, 28.05.2014

Antworten
nimm halt einfach die Kreisgleichung hinzu, dann hast du 3 Gleichungen mit den Unbekannten x,y,m, welche du dann berechnest

also die 3 Gleichungen:

1)x2+y2=9

2)(y-4)=m(x-5)

3)y=(-1m)x
htc4eva

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21:56 Uhr, 28.05.2014

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Vielen Dank für die Hilfe, allerdings komme ich immer noch nicht auf die richtige Lösung. Meine Vorgehensweise: 3) nach m umstellen und in 2) einsetzen, danach 2) nach x umstellen und in 1) einsetzen. Dies haut leider nicht hin.
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Atlantik

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21:58 Uhr, 28.05.2014

Antworten
Einen Lösungsweg findest du in meiner Zeichnung.

mfG

Atlantik

Tangenten
htc4eva

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22:04 Uhr, 28.05.2014

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Danke für die Zeichnung, allerdigs sagt sie mir nichts über die Vorgehensweise aus.
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Atlantik

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22:10 Uhr, 28.05.2014

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Der Thaleskreis über der Strecke PB schneidet den Kreis in den beiden Berührpunkten B1 und B2.

Die Dreiecke BB1P und BB2P sind rechtwinklig.


mfG

Atlantik


htc4eva

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22:15 Uhr, 28.05.2014

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Leider ein ganz andere Ansatz, ich muss die Aufgabe ohne Zeichnung lösen. Sprich nur durch Funktionen.
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Respon

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22:21 Uhr, 28.05.2014

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Es gibt mehrere Möglichkeiten der Berechnung:
Berührpunkte: Schneide die Polare bezüglich des Punktes P(5|4) mit dem Kreis. Die Gleichung der Polaren erhält man durch die Spaltform der Kreisgleichung.
k:x2+y2=9
P(5|4)

p:5x+4y=9
pk bestimmen Berührpunkte

Oder man verwendet die Berührbedingung:
t:y=m(x-5)+4
y=mx+(4-5m)
Berührbedingung: r2(1+m2)=d2
dabei ist d=4-5m
Aus der entstehenden quadratischen Gleichung die zwei Werte für m berechnen.

Oder man schneidet t:y=m(x-5)+4 mit dem Kreis und erhält m aus dem Nullsetzen der Diskriminante.
Frage beantwortet
htc4eva

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22:33 Uhr, 28.05.2014

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Vielen Dank Respon, du hast mir sehr geholfen.
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Aurel

Aurel

02:49 Uhr, 29.05.2014

Antworten
"Meine Vorgehensweise: 3) nach m umstellen und in 2) einsetzen, danach 2) nach x umstellen und in 1) einsetzen. Dies haut leider nicht hin."

Sicherheitshalber sei noch ergänzt: Auch deine Vorgehensweise würde zum richtigen Ergebnis führen - zwar nicht der einfachste Weg aber doch ...
Der "Klassiker" ist vermutlich der Lösungsweg über das Nullsetzen der Diskriminante