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Beschränkte Umordnung

Universität / Fachhochschule

Tags: Analysis

Randolph Esser aktiv_icon

03:27 Uhr, 15.11.2026

Hi Folks,

ich möchte eine schöne Bearbeitung
(eine trashige habe ich schon) folgender Aufgabe herstellen.
Ich werde schätzungsweise morgen Nachmittag damit beginnen
und bitte bis dahin gern um Inspirationen und/oder Musterlösungen.
Also:

Die bijektive Abbildung

τ : ℕ \to ℕ

sei eine beschränkte Umordnung,

d . h

. es gebe ein

d \in ℕ,

sodass

| τ (n) - n | \leq d

für alle

n \in ℕ

.
Man beweise:
Eine Reihe

\sum_{k = 0}^{\infty} a_{k}

konvergiert genau dann,
wenn die Reihe

\sum_{k = 0}^{\infty} a_{τ (k)}

konvergiert,
und beide Reihen haben (im Konvergenzfall) denselben Grenzwert.

Randolph Esser aktiv_icon

19:21 Uhr, 15.11.2026

Hier nun meine Bearbeitung:

Gelte

\sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} = : a \in ℝ

und sei

0 < ε \in ℝ

.
Dann gibt es ein

N \in ℕ,

sodass

| \sum_{k = 0}^{n} a_{k} - a | < \frac{ε}{d + 1}

und auch

| a_{n} | < \frac{ε}{d + 1}

für alle

n \geq N

.

Daraus, dass

τ

bijektiv und eine beschränkte Umordnung ist,
folgert man leicht, dass

\sum_{k = 0}^{n + d} a_{τ (k)} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} + S

für alle

n \in ℕ,

wobei

S

eine Summe aus

d

Gliedern der Folge

{(a_{k})}_{k \in ℕ}

mit Indizes

n + 1 \leq k \leq n + 2 d

ist. Es folgt

| \sum_{k = 0}^{n + d} a_{τ (k)} - a | = | \sum_{k = 0}^{n} a_{k} + S - a | \leq | \sum_{k = 0}^{n} a_{k} - a | + | S |

< \frac{ε}{d + 1} + d \frac{ε}{d + 1} = ε

für alle

n \geq N,

und somit gilt auch

\sum_{k = 0}^{\infty} a_{τ (k)} = a

.

Die umgekehrte Beweisrichtung folgt aus dem bereits Gezeigten,
denn wenn man

b_{k} := a_{τ (k)}

für alle

k \in ℕ

setzt, gilt

\sum_{k = 0}^{\infty} a_{τ (k)} = \sum_{k = 0}^{\infty} b_{k}

sowie

\sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} = \sum_{k = 0}^{\infty} a_{τ (τ^{- 1} (k))} = \sum_{k = 0}^{\infty} b_{τ^{- 1} (k)}

und

τ^{- 1}

ist ebenfalls eine beschränkte Umordnung,
denn für jedes

k \in ℕ

gibt es genau ein

k' \in ℕ

mit

τ (k') = k

und somit gilt

| τ^{- 1} (k) - k | = | τ^{- 1} (τ (k')) - τ (k') | = | τ (k') - k' | \leq d

.

Alles Tuffi ?

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