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Beschränkte Variation Beispiel

Universität / Fachhochschule

Tags: Variation, Variationsrechnung

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16:11 Uhr, 22.01.2026

Hey,

In lerne gerade die beschränkte Variation und habe es wohl noch nicht ganz verstanden.
Wir nutzen folgende Definition:

Sei

Ω \subset ℝ^{n}

offen. Dann hat

f

beschränkte Variation in

Ω

, wenn:

∣ ∣ \nabla f ∣ ∣_{Ω} := sup {\int_{Ω} f * d i v φ : φ \in C_{c}^{1} (Ω)^{n}, ∣ ∣ φ ∣ ∣_{C^{0}} \leq 1} < \infty

.

In der Vorlesung und auf Wikipedia habe ich das Beispiel gefunden, dass

f_{1} (x) = x \sin (\frac{1}{1} x)

keine beschränkte Variation hat,

f_{2} (x) = x^{2} \sin (\frac{1}{x})

jedoch schon.

Leider habe ich keinen Beweis dazu und komme auch nicht darauf, wie das gezeigt wurde und warum genau das gilt.

Ich hoffe jemand kann helfen :-)

LG Felix

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

16:45 Uhr, 22.01.2026

Zumindest für beschränkte

Ω \subset ℝ^{1}

kann man diese zwar allgemeinere, aber eben doch unhandliche Definition der Totalvariation ersetzen durch

{∥ \nabla f ∥}_{Ω} = sup \sum_{i = 1}^{n - 1} ∣ f (x_{i + 1}) - f (x_{i}) ∣

wobei das Supremum über alle

n

sowie Folgen

x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n}

genommen wird, die natürlich komplett in

Ω

liegen müssen.

Für konkrete Funktionen kann man diesen Wert berechnen, indem man für die Stellen

x_{i}

etwa die lokalen Extremstellen wählt. Bei Unbeschränktheitsbeweisen muss man aber nicht genau die Extremstellen nehmen, es reicht auch eine geschickte Wahl in deren Nähe - Beispiel:

f_{1} (x) = x \sin (\frac{1}{x})

sagen wir auf

Ω = (0, 1)

.

Wählt man nun

x_{i} = \frac{1}{\frac{π}{2} + (n - i) π} = \frac{2}{π (1 + 2 (n - i))}

für

i = 1, 2, \dots, n

, so gilt

∣ f_{1} (x_{i + 1}) - f_{1} (x_{i}) ∣ = ∣ \frac{2}{π (1 + 2 (n - i - 1))} (- 1)^{n - i - 1} - \frac{2}{π (1 + 2 (n - i))} (- 1)^{n - i} ∣ = \frac{2}{π} (\frac{1}{1 + 2 (n - i - 1)} + \frac{1}{1 + 2 (n - i)})

und damit (des Supremums wegen)

{∥ \nabla f_{1} ∥}_{Ω} \geq \frac{2}{π} \sum_{i = 1}^{n - 1} (\frac{1}{1 + 2 (n - i - 1)} + \frac{1}{1 + 2 (n - i)}) = \frac{2}{π} \sum_{j = 1}^{n - 1} (\frac{1}{2 j - 1} + \frac{1}{2 j + 1})

Offenbar divergiert der Term rechts bestimmt gegen

\infty

für

n \to \infty

(Stichwort Harmische Reihe), d.h.

f_{1}

hat keine beschränkte Variation.

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