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Beschränktheit / Abgeschlossenheit von Mengen

Universität / Fachhochschule

Tags: Abgeschlossenheit, Beschränktheit, mengen

 
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nilpferd3

nilpferd3 aktiv_icon

16:39 Uhr, 16.12.2014

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Hi, es geht um folgende Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Teilmengen M der komplexen Zahlen auf Beschränktheit, Abgeschlossenheit und Kompaktheit und beweisen Sie Ihr Ergebnis:

a.)M={z∈C|-1≤ Im(z) ≤1};
b.)M={z∈C|-1≤| Re(z)| + |Im(z)| ≤1};
c.)M={z∈C|-1≤ Re(z)*Im(z) ≤2};

a.) also der Realteil ist ja ganz R und der Imaginärteil ist ja [-1,+1]
also würde ich sagen, da R abgeschlossen und das intervall [-1,+1] abgeschlossen
→ insgesamt abgeschlossen und wegen dem Realteil nicht beschränkt.

b.) ist beschränkt, da die Menge eine Teilmenge der geschlossenen Kreisscheibe B1(0) ist und auch müsste auch abgeschlossen sein, da Imaginär- und Realteil el [-1,1]
aber bezüglich abgeschlossenheit bin ich unsicher.

c.) ist unbeschränkt und abgeschlossen, da Imaginärteil und Realteil el R

wie beweise ich das denn korrekt bzw. wie ist es richtig?
Bin für Hilfe dankbar.

(vielleicht sollte man noch ergänzen, dass wir Mengen, die abgeschlossen sind so definiert haben, dass alle Folgen ,die in der Menge liegen auch ihren Grenzwert in der Menge haben)

Grüße
nilpferd

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

14:05 Uhr, 17.12.2014

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Alles richtig. Bei c) muss man für die Unbeschränkheit anders argumentieren (z.B. mit der Angabe einer konkreten unbeschränkten Folge).
Die Abgeschlossenheit zu beweisen ist etwas mühsam, obwohl sie offensichtlich ist.
Da kenne ich keinen Kurzweg, nur stumpf nach der Definition vorgehen.
Frage beantwortet
nilpferd3

nilpferd3 aktiv_icon

19:08 Uhr, 17.12.2014

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alles klar, danke.