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Beschränktheit einer Menge untersuchen

Universität / Fachhochschule

Tags: Beschränktheit, Mengenlehre

IPanic aktiv_icon

01:16 Uhr, 25.11.2015

Hallo,
meine Aufgabe lautet wie folgt:

Untersuchen Sie, ob die Menge

{\sqrt[n]{n} : n \in N}

beschränkt ist. Begründen sie ihre Antwort.

Eine untere Schranke zu finden sollte einfach sein. Immerhin ist die

\sqrt[]{x} > 0

für alle

x \in R +

. Somit ist auch die

\sqrt[n]{n} > 0

für alle

n \in N

. Das reicht soweit oder? Falls es hier einen schöneren Weg gibt um zu zeigen, dass eine untere Schranke existiert, würde ich mich über einen Ansatz freuen.

Eine obere Schranke zu finden erweist sich als schwieriger. Wie sollte man hier herangehen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

michaL aktiv_icon

07:26 Uhr, 25.11.2015

Hallo,

hast du schon exploriert?
(D.h.mal z.b. mit einer Tabellenkalkulation etliche Werte berechnet.)

Mfg Michael

IPanic aktiv_icon

14:52 Uhr, 25.11.2015

Ja habe ich. Dabei ist mir aufgefallen, dass alle Werte (wahrscheinlich ) zwischen

1 - 1,5

in etwa liegen. Aber das reicht ja nicht um ordentlich zu begründen, dass die Menge beschränkt ist?

IPanic aktiv_icon

18:19 Uhr, 25.11.2015

bump

ledum aktiv_icon

16:30 Uhr, 26.11.2015

Hallo
du brauchst ja nur eine Schranke, nicht ne besonders kleine was folgz etwa aus

n^{\frac{1}{n}} < 2

oder

n^{\frac{1}{n}} < 10

Gruß ledum

IPanic aktiv_icon

17:43 Uhr, 26.11.2015

Hi,
danke für deine Antwort. Ich frage mich nun, ob es einen einfachen Beweis gibt, der zeigt, dass die

\sqrt[n]{n} < 2

oder sogar

< \frac{3}{2}

ist.

michaL aktiv_icon

18:43 Uhr, 26.11.2015

Hallo,

\sqrt[n]{n} < 2 \overset{}{\Leftrightarrow} \dots

Vielleicht geht eine äquivalente Ungleichung einfach(er) zu beweisen?!

Mfg Michael

IPanic aktiv_icon

19:40 Uhr, 26.11.2015

Ich vermute, dass du darauf hinauswillst, dass

n < 2^{n}

für alle

n \in N

. Ich hatte gehofft, dass man die

\sqrt[n]{n}

irgendwie geschickt nach oben abschätzen kann und so eine obere Schranke findet, die sehr nah an der kleinsten oberen Schranke liegt.

ledum aktiv_icon

00:43 Uhr, 27.11.2015

Hallo
warum so ne möglichst kleine Schranke, wenn die Aufgabe das nicht verlang?
dass die obere Schranke

> 1

ist ist klar. dass wenn sie für alle

n

gelten soll

\sqrt{2}

eine obere Schranke ist geht auch noch. wenn du eine kleinere obere Schranke willst dann erst für die Folge ab

n > N

dau willst ne Schranke nahe an 1 ich nenn sie

1 + x

also

n^{\frac{1}{n}} < 1 + x

für

n > N

also

n < {(1 + x)}^{n}

es gilt

{(1 + x)}^{n} < 1 + n \cdot x + n \cdot (n - 1) \cdot x^{2}

für

x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}} {(1 + x)}^{n} < 1 + n - 1)

also hat man

n^{\frac{1}{n}} < 1 + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}})

Gruß ledum

melwei aktiv_icon

09:47 Uhr, 09.03.2017

Hallo IPanic,
vielleicht bringt es dir etwas, wenn du dir die Frage etwas umdenkst: gesucht ist eine Exponentialfunktion der Form

f (n) = a^{n}

, die die Funktion

g (x) = x

tangiert - das hieße dann, dass

a^{n} \geq n \Leftrightarrow \sqrt[n]{n} \leq a

. Genau bei dem

a

, dass bei unserer Funktion

f

vorliegt, würde auch der Gleichheitsfall eintreten, der dann halt am Berührpunkt liegt. Beachte: Das funktioniert nur, wenn du nicht nur natürliche Zahlen betrachtest, sondern

\sqrt[r]{r}

für beliebige positive reelle

r

.

Ich kenne mich leider auf diesem Gebiet nicht sonderlich gut aus, deshalb kann ich dir keine Hilfe dafür bieten, wie man jetzt diese tangierende Funktion findet (vllt. formuliert man es auch besser als welche Exp.-fkt. wird von

g (x) = x

tangiert), aber du kannst ja versuchen, den Teil selbst zu lösen (Oder mit Hilfe - ledum??? ;-))

Viele Grüße
melwei

Edit: Ich hoffe mal, das ganze ist für dich noch interessant, obwohl du die Frage vor über einem Jahr gestellt hast ;-)

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