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Beschränktheit etc. nachweisen/widerlegen

Universität / Fachhochschule

Tags: Beschränktheit, Infimum, Menge, mengen, Supremum

Helpneeder

16:38 Uhr, 30.05.2017

Hallo miteinander,

bei einigen Aufgaben fällt mir auf, dass ich grundlegende Dinge nach und nach immer mal wieder vergesse.
Nehmen wir

z . B

. die Menge

A := {n + \frac{{(- 1)}^{n}}{n} : n \in ℕ \ {0}} \subseteq ℚ

Diese ist ja (realtiv offensichtlich) nicht nach oben beschränkt.
Aber wie zeige ich das?

Meine Ideen:

1 .)

Eigentlich kann ich doch zeigen, dass

lim_{n \to \infty} (n + \frac{{(- 1)}^{n}}{n}) = \infty

und darauf folgt dann, dass A nicht nach oben beschränkt ist, oder?

2.)Wenn ich streng nach Definition der Beschränktheit vorgehen wollte, müsste ich die Sache doch eher wie folgt angehen:
Angenommen es gäbe eine obere Schranke

s

mit

s \geq x

für alle

x \in A

.
Und dann müsste ich irgendwie auf einen Widerspruch kommen, weil ich doch immer noch ein

x

finden kann, dass in A liegt und größer als

s

ist? Oder wie funktioniert das dann?

Auf der anderen Seite möchte ich nun zeigen, dass inf(A)

= 0 = min (0)

.
Also dass 1. A nach unten beschränkt ist und dass 0 die größte untere Schranke ist.
Wie zeige ich das? Dass nichts kleineres als

0

in der Menge liegen kann ist ja ziemlich offensichtlich, aber wie geht ein Beweis dafür?

ledum aktiv_icon

16:47 Uhr, 30.05.2017

Hallo
angenommen es gibt ein

n_{0}

n + \frac{{(- 1)}^{n}}{n} < N_{0}

für alle

n

dann folgt

n < N_{0} + \frac{1}{n}

wählt

n = N_{0} + 1

Widerspruch.

0 = min

a) A = 0

für

n = 1

n > n - 1

für alle

n > 1

Gruß ledum

Helpneeder

20:44 Uhr, 04.06.2017

Okay, der Widerspruch macht Sinn, danke.
Den Beweis für

min (A) = 0

verstehe ich nicht ganz.
Also dass für

n = 1

gilt

n + \frac{{(- 1)}^{n}}{n} = 0

und

\Rightarrow 0 \in A

ist klar.
Aber inwiefern sagt mir "

n > n - 1

für alle

n > 1

" jetzt, dass kein

x < 0 \in A

ledum aktiv_icon

19:27 Uhr, 05.06.2017

Hallo
wie kommst du auf irgendein

x < 0

hier stehen doch nur

n \in ℕ

?
konzentrier dich auf die Aufgaben! definiere jeden Buchstaben - wie hier

x

den du einführst!
und

n < 0

hättest du wohl nicht gefragt?
ledum

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