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Beschreibe einen Körper, der 9 Elementen hat

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Körper

simssims aktiv_icon

14:43 Uhr, 22.06.2021

Hallo!

Wie es auch in die Frage steht ich soll einen Körper mit 9 Elementen beschreiben, also zuerst es finden und dann zeigen welche sind die Elementen davon.

Ich habe gedacht an

F_{9} = Z_{3} [x] / 〈 x^{2} + 1 〉

.

Ich habe somit

x^{2} + 1 = 0

und

x^{2} = - 1

.

Wie kann ich die Elementen von diese Körper finden? Was ist eine praktische Methode die man auch im allgemein bei solche Aufgaben verwenden kann? Da ich tue mich immer schwer.
Und woher weiss ich a priori dass

x^{2} + 1

das irreducible Polynom das ich in diese Fall brauche, ist?

Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe.

LG
simsssims

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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Raummessung

ermanus aktiv_icon

15:07 Uhr, 22.06.2021

Hallo simssims,
wenn

p

eine Primzahl ist und ein Körper mit

p^{n}

Elementen
gesucht wird, ist

n

der Grad eines irreduziblen (normierten) Polynoms

f

.
Die Elemente des Körpers schreiben sich alle in der Form

a_{0} + a_{1} α + a_{2} α^{2} + \dots + a_{n - 1} α^{n - 1}

wobei
die

a_{0}, \dots, a_{n - 1}

im Primkörper

F_{p}

liegen.
Da jeder dieser Koeffizienten

p

Werte annehmen kann, hat man insgesamt

p \cdot \dots \cdot p = p^{n}

Elemente.

α

ist dabei die Restklasse von

x

modulo

(f)

.
In unserem Falle hast du

9 = 3^{2}

Elemente, also ist

p = 3

und

n = 2

.
Du suchst also ein irreduzibles normiertes Polynom vom Grad

n = 2

.
Da die endlichen Körper mit

p^{n}

Elementen alle isomorph sind, ist es egal,
welches irreduzible Polynom du nimmest, wenn mehrere zur Auswahl stehen.
In deinem Falle musst du also unter den Polynomen

x^{2}, x^{2} + x, x^{2} - x, x^{2} + 1, x^{2} - 1, x^{2} + x + 1, x^{2} - x + 1, x^{2} + x - 1, x^{2} - x - 1

ein irreduzibles heraussuchen ...

LG ermanus

simssims aktiv_icon

17:29 Uhr, 22.06.2021

Hallo ermanus!

Vielen Dank für deine Antwort. Die Auswahl von mein Polynom ist mir jetzt klar. Was mir noch ein bisschen unklar ist, ist wie finde oder "erzeuge" ich praktisch die Elementen von meinem Körper. Also nehmen wir an dass ich

x^{2} + 1

wähle. Was mache ich jetzt?

LG

simssims

ermanus aktiv_icon

17:41 Uhr, 22.06.2021

Wenn wir

F_{3} = {0, 1, 2}

schreiben, erhalten wir folgende
Elemente

{0, 1, 2, x, 1 + x, 2 + x, 2 x, 1 + 2 x, 2 + 2 x}

,
wobei ich statt

α

wieder

x

geschrieben habe mit
der Regel

x^{2} = - 1

.
LG ermanus

simssims aktiv_icon

17:47 Uhr, 22.06.2021

Ja genau, aber wie erhalten wir diese Elemente?
Tut mir leid falls ich etwas übersehe, aber ist mir leider nicht so klar.

LG

ermanus aktiv_icon

17:56 Uhr, 22.06.2021

Deine Frage verstehe ich nicht.
Z.B. ist

x + 2

"in Wirklichkeit" die Restklasse

x + 2 + (x^{2} + 1)

innerhalb des Faktorrings von

F_{3} [x]

nach dem Ideal

(x^{2} + 1)

.
Du musst doch nicht wissen, ob

x + 2

grüne Haare hat oder 47 Meter groß ist
und im Wald wächst. Du musst doch nur wissen, wie man damit rechnet.
Das nennt man "Algebra" !

simssims aktiv_icon

18:34 Uhr, 22.06.2021

Die Idee meiner Frage ist wie können wir die Elementen von F_9 erzeugen bzw finden.
Also in unserem Fall okay wir wissen dass F_3={0,1,2} und wir haben unser Polynom ausgewählt

x^{2} + 1

. Jetzt F9={0,1,2,.,.,.,.,.,.} und es fehlen 6 Elementen. Wie findest du diese Elementen. Was beginnt man zu machen?

ermanus aktiv_icon

18:45 Uhr, 22.06.2021

Das habe ich doch schon geschrieben: die Elemente sind die

F_{3}

-Linearkombinationen
aus den beiden "Basisvektoren"

1

und

x

, also
die Elemente

a_{0} + a_{1} x

mit

a_{0}, a_{1} \in F_{3}

.

LG ermanus

simssims aktiv_icon

18:59 Uhr, 22.06.2021

Alles klar! Vielen Dank!

LG

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