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Bestimme Sup, Inf, Max, Min der Menge M

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Infimum, Menge, natürlich, Sonstig, Supremum, Zahl

Jonathan29 aktiv_icon

22:48 Uhr, 24.11.2015

Hallo,

die Aufgabe lautet wie folgt:

Bestimme Supremum, Infimum, Maximum, Minimum (sofern sie existieren) der Menge

M = {\frac{m + n}{m \cdot n} : m, n \in ℕ_{> 0}} \subset ℝ

.

Meine Beh.: suprM/maxM

= 2,

infM

= 0,

miniM ex. nicht

Der Beweis wäre doch jetzt:
1. Zeigen, dass

2 \in M

und

0 \notin M

.
2. Zeigen, dass 2 und 0 Schranken sind.
3. Zeigen, dass es keine größere/kleinere Schranke gibt.

2 .)

Ang., 2 wäre keine obere Schranke

\Rightarrow \exists m, n \in ℕ_{> 0} : \frac{m + n}{m \cdot n} > 2

\frac{m + n}{m \cdot n} > 2 \Leftrightarrow m + n > 2 \cdot m \cdot n

Wie komme ich hier weiter?

Außerdem: Ang., 0 wäre keine untere Schranke

\Rightarrow \exists m, n \in ℕ_{> 0} : \frac{m + n}{m \cdot n} < 0

\frac{m + n}{m \cdot n} < 0 \Leftrightarrow \frac{1}{n} + \frac{1}{m} < 0 \Leftrightarrow \frac{1}{n} < - (\frac{1}{m})

Widerspruch!
(Die Ungleichung kann nicht stimmen, da

- (\frac{1}{m}) < 0 < \frac{1}{n}

für alle

m, n \in ℕ_{> 0})

\Rightarrow 0

ist untere Schranke von M.

Kann man das so schreiben?

Wenn ihr mir helfen wollt, bitte nicht gleich die Lösung verraten, sondern mir Tipps geben.

Liebe Grüße, Jonathan

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

IPanic aktiv_icon

23:35 Uhr, 24.11.2015

Sieht soweit gut aus. Das 0 eine untere Schranke ist hast du auch vernünftig gezeigt. Jetzt fehlt halt nur noch der Beweis, dass 0 die größte untere Schranke ist.

Bezüglich der oberen Schranke wäre ich wie folgt vorgegangen:

\frac{m + n}{m \cdot n} = \frac{m}{m \cdot n} + \frac{n}{m \cdot n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{m}

m, n \in N

sind ist

\frac{1}{n} \leq 1

und

\frac{1}{m} \leq 1

Damit folgt:

\frac{1}{n} + \frac{1}{m} \leq 1 + 1 \leq 2

Jonathan29 aktiv_icon

23:43 Uhr, 24.11.2015

Hallo IPanic,

danke für die Antwort.

3 .) z . z . : 2

ist kleinste obere Schranke von M.

\Leftrightarrow 2 \leq s

für alle

s \in ℝ

mit

s \geq \frac{m + n}{m \cdot n}

für alle

m, n \in ℕ

.
Bew.:

s \geq \frac{m + n}{m \cdot n} \Rightarrow s \geq \frac{1 + 1}{1 \cdot 1} = 2

Muss man das überhaupt zeigen?

z . z . : 0

ist größte untere Schranke von M.

\Leftrightarrow 0 \geq s

für alle

s \in ℝ

mit

s \leq \frac{m + n}{m \cdot n}

für alle

m, n \in ℕ

.
Bew.: Ang.:

\exists s \in ℝ : 0 < s \leq \frac{m + n}{m \cdot n}

für alle

m, n \in ℕ

.

Nun suche ich nach einem

t \in M,

also der Form

\frac{m + n}{m \cdot n},

mit

t < s

. Ich weiß aber einfach nicht, wie ich das finde, kann mir jemand helfen?

Liebe Grüße, Jonathan

/push

IPanic aktiv_icon

20:26 Uhr, 26.11.2015

Hi,
sorry erstmal für die späte Antwort.

Bezüglich des Supremums müssen wir nichts mehr beweisen. Das Supremum wird in der Menge angenommen, ist also sogar ein Maximum.

Um zu beweisen, dass 0 das Infimum der Menge ist, solltest du den Ausdruck

\frac{m + n}{m \cdot n}

lieber in der Form

\frac{1}{n} + \frac{1}{m}

betrachten(Ich habe ja oben bereits gezeigt, dass diese Ausdrücke gleich sind).

Wir nehmen an, dass 0 ist das Infimum der Menge also muss gelten:

\frac{1}{n} + \frac{1}{m} < 0 + ε

mit

ε > 0

d . h

. wir wählen uns ein beliebiges aber festes

ε

größer 0 und egal wie klein es ist, wir schaffen es immer, ein Element in unser vorgegeben Menge zu finden, dass näher an unserer vermuteten kleinsten unteren Schranke liegt.

Wir müssen also zeigen, dass gilt:

\frac{1}{n} + \frac{1}{m} < ε

Wir wählen

n > \frac{2}{ε}

und

m > \frac{2}{ε}

. Das können wir ohne weiteres hinkriegen, da

n

und

m \in N

sind und die Menge

N

nicht nach oben beschränkt ist.

Setzen wir nun

n

und

m

in unsere Ungleichung ein erhalten wir:

\frac{1}{n} + \frac{1}{m} < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} < ε

Wir sind fertig.

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