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Bestimme alle Erzeuger der folgende Gruppe

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Algebra, Gruppen, zyklische Gruppe

simssims aktiv_icon

18:56 Uhr, 13.11.2021

Hallo!

Ich soll alle erzeuger der Zyklische Gruppe

F_{16}

(endliche Körper mit 16 Elementen aber als Gruppe betrachtet) bestimmen.

Wäre sehr dankbar um eine Vorgehensweise oder um Hilfe.

LG
simssims

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

19:29 Uhr, 13.11.2021

F_{16}

besteht aus Elementen

a + b x + c x^{2} + d x^{3}

mit

a, b, c, d \in {0, 1}

, betrachtet Modulo

1 + x + x^{4}

, mit Koeffizienten aus

ℤ_{2}

(also Modulo 2).
Zyklisch ist natürlich nur seine multiplikative Gruppe, also

F_{16} \ {0}

. Das sind

15

Elemente, und da

1

nicht in Frage kommt, bleiben nur

14

. Wenn du nicht sie direkt prüfen willst, dann kannst du das Argument daraus nutzen: matheraum.de/forum/Primitiven_Elemente_F16_F2/t1045340.
Aber das spart vermutlich nicht viel Zeit.

Ich prüfe für dich ein Element:

x

.
Wir haben:

x^{1} = x

x^{2} = x^{2}

x^{3} = x^{3}

x^{4} = - 1 - x = 1 + x

(alle Koeffizienten sind Modulo 2, also -1=1

)

x^{5} = x (1 + x) = x + x^{2}

x^{6} = x (x + x^{2}) = x^{2} + x^{3}

x^{7} = x (x^{2} + x^{3}) = x^{3} + x^{4} = x^{3} - 1 - x = x^{3} + 1 + x

x^{8} = (x^{4})^{2} = (- 1 - x)^{2} = 1 + 2 x + x^{2} = 1 + x^{2}

x^{9} = x (1 + x^{2}) = x + x^{3}

x^{10} = x (x + x^{3}) = x^{2} + x^{4} = x^{2} - 1 - x = 1 + x + x^{2}

x^{11} = x (1 + x + x^{2}) = x + x^{2} + x^{3}

x^{12} = (x^{4})^{3} = (- 1 - x)^{3} = - 1 - 3 x - 3 x^{2} - x^{3} = 1 + x + x^{2} + x^{3}

x^{13} = x (1 + x + x^{2} + x^{3}) = x + x^{2} + x^{3} + x^{4} = x + x^{2} + x^{3} - 1 - x = 1 + x^{2} + x^{3}

x^{14} = x (1 + x^{2} + x^{2}) = x + x^{3} + x^{4} = x + x^{3} - 1 - x = 1 + x^{3}

x^{15} = x (1 + x^{3}) = x + x^{4} = x - 1 - x = 1

Damit sehen, dass

x

tatsächlich die ganze Gruppe erzeugt.
Offensichtlich können

x^{3}

x^{5}

x^{6}

x^{9}

x^{10}

und

x^{12}

keine Erzeuger sein. Es ist nicht schwer zu zeigen, dass all anderen in der Tat Erzeuger sind. Und sie sind schon berechnet worden, also ist es damit erledigt.

simssims aktiv_icon

19:17 Uhr, 16.11.2021

Vielen Dank!

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