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Bestimme die Eigenwerte und zugehörigen Eigenräume
Universität / Fachhochschule
Eigenwerte
Tags: Eigenvektor, Eigenwert, Lineare Abbildungen
 
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Hallo, folgende Aufgabe ist gegeben: Gegeben seien der Vektorraum 2x], die lineare Abbildung sowie die folgenden Bilder von Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume der linearen Abbildung L. Eigenwerte sind ja quasi Streckungen der Abbildung in die selbe Richtung. Daher hab ich geguckt, wann das Urbild(heißt es so?) dem Bild entspricht. Beim ersten wäre der Wert da beide Bilder nur für den Wert in die selbe Richtung gehen. Beim zweiten wäre EW=5 und beim dritten EW=-1. Nun soll ich die Eigenräume bestimmen, wie funktioniert dies bei Polynomen? Bei Matrizen habe ich bislang die Formel benutzt. Danke für die Hilfe. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Erstes zweites drittes L? Es ist doch nur eine einzige Abbildung gegeben! |
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So sieht die Aufgabe aus. |
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Hallo, die Eigenwerte "sieht" man doch! Freundlicherweise ist . Wer das nicht sieht, dem fehlt eine Menge Übung! Nahezu genauso einfach zu sehen ist der nächste Eigenwert wegen . Nun braucht man für den dritten Eigenwert nur die Tatsache, dass die drei Bilder NICHT linear unabhängig sind, woraus folgt, dass es noch den Eigenwert 0 gibt, neben den eher implizit genannten Eigenwerten 5 und -1. Aber Eigenräume berechnen mach mal selbst, einfacher als nachrechnen wird Mathe nämlich nicht! Mfg Michael |
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Sag mal, hast du meine Frage überhaupt ansatzweise gelesen? |
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Hallo, hm, zugegebenermaßen nur ansatzweise. Dass du die Eigenwerte schon kanntest, hab ich offenbar beim Überfliegen nicht wahrgenommen. Die Eigenräume zu den Eigenwerten -1 bzw. 5 kann man trotzdem sehen, da diese ja aus Dimensionsgründen jeweils nur eindimensional sein können. Es reicht also, jeweils einen Eigenwert zu den Eigenwerten anzugeben. Das solltest du können, ohne dass ich dein post vollständig gelesen habe... Deine Überlegungen zum Eigenwert 0 sind noch nicht kohärent. Beachte meine Aussage, dass die drei Bilder nicht linear unabhängig sind. Wenn du genau hinschaust, dass gilt. Daraus müsste man doch ein Polynom höchstens zweitens Grades konstruieren können, für das gilt. Versuch mal. Mfg Michael |
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Ihr redet aneinander vorbei, aber michaL hat die Aufgabe gelöst. Es sind drei linear unabhängige Vektoren aus unserem dreidimensionalen Vektorraum gegeben, nämlich und . Die lineare Abbildung ist durch ihre Werte auf diesen drei Basisvektoren (sogar eindeutig) beschrieben, und zwar . Sofern man geübt ist, springen nicht nur als Eigenvektor zum Eigenwert 5 und als Eigenvektor zum Eigenwert sondern auch zum Eigenwert 0 ins Auge. In diesem einfachen Fall sind die Eigenräume notwendigerweise jeweils die eindimensionalen von den genannten speziellen Eigenvektoren erzeugten Unterräume. |
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Das hat es jetzt beantwortet, danke. |
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