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Bestimme konvergenzradius, konvergenzbereich

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen

newbie89 aktiv_icon

08:38 Uhr, 03.10.2009

P(x) = $\frac{x}{1} + \frac{x²}{2 ²} + \frac{x³}{3 ²} + \frac{x^{4}}{4 ²}$

Hallo,

kann mir jemand erklären wie man hier den Konvergenzbereich und den Konvergenzradius bestimmt. So wies im Papula steht versteh ich das leider nicht so ganz....

Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

DerCommander aktiv_icon

09:11 Uhr, 03.10.2009

guten morgen,

zu erst sei gesagt, dass der papula das wirklich gut erklärt. das du es nicht verstehst, könnte daran liegen, dass dein beispiel gegen gar nichts konvergiert.

newbie89 aktiv_icon

10:33 Uhr, 03.10.2009

Kanns vielleicht trotzdem mal jemand mit seinen eigenen worten erklären vielleicht son schritt für schritt - Erklärung...

Sina86

14:56 Uhr, 03.10.2009

Hi,

ich habe keine Ahnung, wie es im Papula beschrieben wird (ehrlich gesagt kenn ich das Buch gar nicht :-) ). Aber es gibt eine relativ simple Methode, einen Konvergenzradius zu bestimmen:

Bei dir ist:

P (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k^{2}}

Eine Potenzreihe hat die allgemeine Form:

P (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{n} \cdot (x - x_{0})^{k}

wobei

a_{n}

eine Folge von komplexen Zahlen ist.
In deinem Beispiel müsste man das jetzt so umschreiben:

P (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k^{2}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} \cdot (x - 0)^{k} \Rightarrow x_{0} = 0

und

(a_{n})_{n \in ℕ}

mit

a_{n} = \frac{1}{n^{2}}

Nun gibt es ein Quotientenkriterium für Potenzreihen. Hat die Potenzreihe die Form

P (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{n} \cdot (x - x_{0})^{k}

Dann ist der Konvergenzradius

R

gegeben durch

R = lim_{n \to \infty} ∣ \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} ∣

und somit in deinem Fall:

R = lim_{n \to \infty} ∣ \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} ∣ = lim_{n \to \infty} ∣ \frac{\frac{1}{n^{2}}}{\frac{1}{(n + 1)^{2}}} ∣ = lim_{n \to \infty} ∣ \frac{(n + 1)^{2}}{n^{2}} ∣ = lim_{n \to \infty} ∣ \frac{n^{2} + 2 n + 1}{n^{2}} ∣ = lim_{n \to \infty} ∣ \frac{n^{2}}{n^{2}} \cdot \frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{1} ∣

= lim_{n \to \infty} ∣ 1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}} ∣ = ∣ lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}) ∣ = ∣ lim_{n \to \infty} 1 + lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} ∣ = ∣ 1 + 0 + 0 ∣ = 1

Allgemein bedeutet das nun, dass die Potenzreihe für alle

x \in {x \in ℝ ∣ ∣ x_{0} - x ∣ < R}

konvergiert (Konvergenzbereich). Ich beziehe mich hier mal nur auf den reellen Teil, es macht so den Eindruck, als würde es um reelle Zahlen gehen :-)
In deinem Fall also:

{x \in ℝ ∣ ∣ x - 0 ∣ < 1} = (- 1, 1)

. Auf dem Bereich

(- \infty, - 1) \cup (1, \infty)

divergiert die Potenzreihe.
Jetzt weißt du aber noch nicht, was auf dem Rand dieses Intervalls geschieht (darüber macht das Quotientenkriterium keine Aussage). Den musst du noch extra untersuchen.

Für

x = 1

gilt:

P (1) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1^{k}}{k^{2}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}

und dies ist eine konvergente Reihe. Also gehört

x = 1

mit zum Konvergenzbereich.
Für

x = - 1

gilt:

P (- 1) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k}}{k^{2}}

Und da

(a_{n})_{n \in ℕ}

eine monotone Nullfolge ist, ist

P (- 1)

nach dem Leibnitz-Kriterium ebenfalls konvergent. Also ist der Konvergenzbereich

[- 1, 1]

Gruß
Sina

newbie89 aktiv_icon

15:05 Uhr, 03.10.2009

vielen dank!!

newbie89 aktiv_icon

11:14 Uhr, 04.10.2009

hi,

vielleicht kann doch noch mal jemand den schritt genau erklären wie ich mein an ermittel. stehe da noch etwas auf dem schlauch...

Sina86

23:15 Uhr, 04.10.2009

Naja, also das mit dem Bestimmen ist nicht unbedingt so einfach :-) Du musst deine Potenzreihe in die (ich nenn es jetzt mal einfach) "Idealform" bringen, d.h.

P (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} \cdot (x - x_{0})^{k}

Wenn du also die Reihe

P (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k^{2}}

hast, dann schaust du zunächst einmal nach Klammern der Form

(x - x_{0})^{k}

, wobei man sich überlegen muss, was der Entwicklungspunkt

x_{0}

ist. Das ist hier offensichtlich Null, denn

P (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k^{2}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(x - 0)^{k}}{k^{2}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} \cdot (x - 0)^{k}

Wenn du das jetzt mit der Idealform von oben vergleichst, dann ist

\frac{1}{k^{2}}

das

k

-te Folgenglied der Reihe

(a_{n})_{n \in ℕ}

, und somit ist

a_{n} = \frac{1}{n^{2}}, \forall n \in ℕ

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