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Bestimmen Alle lösungen Z^4 = -1

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

alzl318 aktiv_icon

00:02 Uhr, 04.12.2017

Bestimmen alle Komplexe Lösungen

z^{4} = - 1

.
Ein Lösung in Form

z = a + i b

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

abakus

07:53 Uhr, 04.12.2017

Wenn die gewünschte Darstellungsform mit z=a+ib schon vorgegeben ist, dann verwende sie auch als Ansatz.
Setze z=a+ib und berechne mit Hilfe des binomischen Satzes

z^{4} = (a + i b)^{4} = (a^{4} + 4 a^{3} (i b)^{3} + 6 a^{2} (i b)^{2} + . . .)

Vereinfache das erhaltene Ergebnis unter Verwendung von i^2=-1.
Nach weitestgehenden Vereinfachung hast du ein Ergebnis mit einem Real- und einem Imaginärteil.
Wegen der Forderung

z^{4} = - 1 = - 1 + 0 i

muss der Realteil -1 sein, und der Imaginärteil muss 0 sein.
Löse das sich daraus ergebende Gleichungssystem, du erhältst 4 möglichee Paare (a,b).

Sollte dir die trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen bekannt sein, dann kannst du auch die Formel von Moivre verwenden und musst die Ergebnisse am Schluss nur noch in die Form z=a+ib zurückverwandeln.

anonymous

11:18 Uhr, 04.12.2017

Hallo
Gast62 deutet es schon an. Ich möchte nochmals die Euler-Darstellung der Zahl

- 1

als Lösungsweg nahelegen, da das meiner Ansicht nach grundsätzlich der leichtgängigere Weg ist.

- 1 = e^{π \cdot i}

oder auch

- 1 = e^{- π \cdot i}

oder auch

- 1 = e^{- 3 \cdot π \cdot i}

oder auch:

. .

.

Hieraus die vierte Wurzel zu ziehen ist jetzt eigentlich sehr leicht zu schaffen...

alzl318 aktiv_icon

11:49 Uhr, 04.12.2017

Also wie kann man komplete Loesung schreiben?? mit Vierte wurzel bin noch nicht so klar.

Edddi aktiv_icon

12:40 Uhr, 04.12.2017

. .

. ein ebenfalls gangbarer Weg wäre über die offensichtlichen Zwischenlösungen:

z_{1}^{2} = i

und

z_{2}^{2} = - i

. .

. ansonsten gemäß vorigen Thread die 4. Wurzel ziehen ist einfach nur Anwendung der Potenzgesetze:

\sqrt[4]{e^{x}} = e^{\frac{x}{4}}

;-)

anonymous

13:01 Uhr, 04.12.2017

Ich musste die Aufgabe auch lösen und sollte sie in der Form z=x+iy angeben.

Bin auf folgendes Ergebnis gekommen:

z1=√2/2+√2/2 mal

i

z 2 =

-√2/2+√2/2 mal

i

und das gleiche noch mal mit vertauschten Vorzeichen für die anderen beiden.
Kann mir einer sagen ob das richtig ist?

anonymous

13:01 Uhr, 04.12.2017

Ich musste die Aufgabe auch lösen und sollte sie in der Form z=x+iy angeben.

Bin auf folgendes Ergebnis gekommen:

z1=√2/2+√2/2 mal

i

z 2 =

-√2/2+√2/2 mal

i

und das gleiche noch mal mit vertauschten Vorzeichen für die anderen beiden.
Kann mir einer sagen ob das richtig ist?

anonymous

13:01 Uhr, 04.12.2017

Ich musste die Aufgabe auch lösen und sollte sie in der Form z=x+iy angeben.

Bin auf folgendes Ergebnis gekommen:

z1=√2/2+√2/2 mal

i

z 2 =

-√2/2+√2/2 mal

i

und das gleiche noch mal mit vertauschten Vorzeichen für die anderen beiden.
Kann mir einer sagen ob das richtig ist?

Edit: Ups sorry für den Repost, war keine Absicht.

Edddi aktiv_icon

13:05 Uhr, 04.12.2017

. .

. jau passt, wobei man noch

\frac{\sqrt{2}}{2}

als

\frac{1}{\sqrt{2}}

schreiben kann.

;-)

alzl318 aktiv_icon

13:20 Uhr, 04.12.2017

kannst du mal bitte Zusammpassen wie die Rechenweg zu schreiben?? haha... bin jetzt ganz kompliziert.

anonymous

14:54 Uhr, 04.12.2017

Hallo

z_{1 - 4} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot i

"Kann mir einer sagen(,) ob das richtig ist?"

Viel leichter, als auf Hilfsrädchen zu warten, gilt: Immer die Kontrolle machen!

>

das schafft Vertrauen in das eigene Tun,

>

das schafft Selbständigkeit,

>

das musst du, wenn du mal nicht nur für Schule und Klassenarbeit, sondern für das reale Leben arbeitest, und das was du rechnest auch stimmen muss, so wie so. (Oder glaubst du, du dürftest einen Satellit starten, eine Brücke bauen, ein Hochhaus statisch auslegen, einen Butter verkaufen, ohne zu prüfen, dass das was du beabsichtigst auch stimmt.)

zum Rechenweg:

z^{4} = - 1

z = {(- 1)}^{\frac{1}{4}}

z = {(e^{(1 + 2 \cdot k) \cdot π})}^{\frac{1}{4}} = e^{(1 + 2 \cdot k) \cdot \frac{π}{4}}

z = cos ((1 + 2 \cdot k) \cdot \frac{π}{4}) + i \cdot sin ((1 + 2 \cdot k) \cdot \frac{π}{4})

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