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Bestimmen Sie Aut(Q) und Aut(R).
Universität / Fachhochschule
Polynome
Tags: Automorphismus, bestimmen, Gruppe, Homomorphismus, invertierbar, Körper, polynom, Prim, stetig
 
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Für einen Körper betrachten wir die Gruppe Aut(K) der Automorphismen von . der invertierbaren Körperhomomorphismen ϕ → K. Ist ⊆ der Primkörper, und ϕ ∈ Aut(K), so gilt ϕ|P = idP. Bestimmen Sie Aut(Q) und Aut(R). Hinweis: Zur Bestimmung von Aut(R) verwenden Sie gerne, dass ⊆ eine dichte Teilmenge ist . jede -Umgebung einer reellen Zahl enthält eine rationale Zahl). Zeigen Sie außerdem, dass jeder Automorphismus ϕ ∈ Aut(R) monoton wachsend (oder besser: stetig) ist. Geben Sie alle stetigen Automorphismen von an. Bemerkung: nicht-stetige Automorphismen von heißen auch „wild“. Man kann keinen einzigen davon explizit angeben, aber ihre Existenz folgt aus dem Auswahlaxiom: math.stackexchange.com/questions/412010/wild-automorphisms-of-the-complex-numbers Hallo zusammen, könnte mir jemand helfen bitte? Vielen Dank im Voraus! :-) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Zu a und b s. hier: www.math.uni-tuebingen.de/ab/Gruppen/riese/NaVo/navo189.html ( ist ein Primkörper) |
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zu c): www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=19563&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F |
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etwas ausführlicher zu b): math.stackexchange.com/questions/449404/is-an-automorphism-of-the-field-of-real-numbers-the-identity-map |
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zu ist das der Beweis? Let ϕ be an automorphism of the field of real numbers. Let be a positive real number. Then there exists such that . Hence ϕ(x)=ϕ(y)^2>0. If then b−a>0. Hence ϕ(b)−ϕ(a)=ϕ(b−a)>0 by the above. Hence ϕ(a)<ϕ(b). This means that ϕ is strictly increasing. If is a natural number, it can be written in the form 1+…+1, so ϕ(n)=n. Now, any rational number is of the form r=(a−b)c−1, for natural numbers, so it follows that ϕ(r)=r for any rational number. Let be a real number. Let be rational numbers such that . Then r<ϕ(x)<s. Since s−r can be arbitrarily small, ϕ(x)=x. This completes the proof. |
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Ja, das ist ein Beweis |
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Schön ;-) weißt du jetzt wie ich Aut(Q) beweisen kann? |
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Ich hab schon oben geschrieben: es ist ein Primkörper. S. Punkt a). |
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Was bedeutet das wenn es Primkörper ist? |
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Verstehe die Frage nicht. Kennst du die Definition? Wenn nicht, lies sie. Gibt's z.B. in Wikipedia oder auch sonst wo. |
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ZU wir haben Aut(R) bestimmt. Wie können wir jetzt Aut(Q) bestimmen? |
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Das habe ich schon 2mal geschrieben. Nutze Punkt a), denn ist ein Primkörper. Sorry, verstehe dein Problem nicht. Lies noch einmal alles sorgfältig durch. |
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sorry wenn ich vielleicht dumme Fragen stelle aber wieso ist ein Primkörper? |
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Keine dumme Frage. ist ein Primkörper, weil kein echter Teilkörper drin liegt. Das zeigt man so: => alle Summen in , also alle in . Dann auch alle in , denn ist abgeschlossen bzgl. der additiven Inversenbildung. Also sind alle ganzen Zahlen drin. Und weil auch bzgl. der multiplikativen Inversenbildung abgeschlossen ist, muss für alle in sein. Damit liegen auch alle in für ganz und . Also sind alle rationalen Zahlen in , womti . |
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zu ich habe den Link geguckt den du mir geschickt hast da stand so Es gibt überhaupt nur 2 Automorphismen: die Identität und die komplexe Konjugation. Warum? Für einen Automorphismus muss gelten. Und wegen i²+1 gilt f(i²+1) f(i)²+f(1) f(i)²+1 Stimmt oder? und wie kann ich die Stetigkeit der beiden Automorphismen nachweisen? Vielen Dank im Voraus! :-)) |
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"und wie kann ich die Stetigkeit der beiden Automorphismen nachweisen?" Das musst du gar nicht machen. Du musst zeigen, dass wenn ein Automorphismus stetig ist, dann ist es entweder Identität oder Konjugation. (Übrigens, wenn man Stetigkeit nicht verlangt, gibt es viel mehr Automorphismen.) Der Beweis geht grob so: jeder Automorphismus ist Identität auf rationalen Zahlen. Wegen Stetigkeit ist es Identität auf reellen Zahlen. Und dann kommt das Argument mit . |
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Every automorphism sends 0 and 1 to themselves, and from this it follows that every automorphism sends the rational numbers ⊂ to itself by the identity. Furthermore, if a ∈ is nonzero and ∈ satisfies then we also have ϕ(b)² and since ± are the only two numbers such that we must have ϕ(b) = ± . Let be the set of all complex numbers of the form a+bi, where −1 and ∈ Q. Since ± are the only two complex numbers whose squares are equal to −1, it follows that ϕ(i) = ± . Therefore ϕ agrees with either the identity or conjugation on . Just as the rationals are dense in so also the set is dense in C. 1 Since two continuous functions from to itself are equal if they agree on a dense subset,2 it follows that ϕ is equal to the identity or complex conjugation, depending upon whether ϕ(i) or ϕi] = −i Richtig so? |
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Hallo, der Aufgabentext möchte dich gerne darauf aufmerksam machen, dass es für Primkörper nur einen einzigen (Körper-)Automorphismus gibt. Untersuche: Welches ist der Primkörper von ? Aut() ist komplizierter. Nenne vielleicht auch erst einmal den Primkörper von . Wenn du nicht weißt, was ein Primkörper ist, hast du wohl die Vorlesung verschlafen... Mfg Michael |
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Hallo MichaL, sorry, aber was bezweckst du gerade? Ich habe schon alles geschrieben, was für die Lösung notwendig ist. Wir sind gerade in der Diskussion mit dem Fragensteller. Soll er jetzt alles wegwerfen und die Diskussion von vorne anfangen, jetzt mit dir? |
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@DrBoogie richtig das was ich vorhin geschrieben habe? |
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Ja, grundsätzlich richtig. Nur warum auf Englisch? |
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Hallo, @DrBoogie: Nun, wie du auch, versuche ich hier zu helfen. Ich habe eben zwei Fäden gesehen, die mich interessierten. Bei diesem hier habe ich nur die Frage gesehen und mir nicht angesehen, dass es schon Antworten gab. Auch beim Anklicken ist mir das nicht aufgefallen. Entschuldige bitte den letzten und auch diesen post. Üblicherweise versuche ich eine Einmischung zu vermeiden. Mfg Michael PS: Schönen Nikolaustag |
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Dankeschön! :-) |
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