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Bestimmen Sie alle unteren Schranken für die Menge

Universität / Fachhochschule

Tags: Infimum, Schrank, Supremum

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18:16 Uhr, 23.04.2017

a)Bestimmen Sie alle unteren Schranken für die Menge:

M := {n - \frac{1}{n + 1} | n \in

ℕ,

n \geq 1}

b)

Bestimmen Sie inf M.

c)

Entscheiden Sie, ob Supremum

M

existiert?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

rundblick aktiv_icon

18:22 Uhr, 23.04.2017

.
kannst du mehr als nur die Aufgabe abschreiben?

dh

\to

was hast du schon selbst überlegt?

\to ...

.

.

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19:07 Uhr, 23.04.2017

Mein Lösungsvorschlag:

a)

M := {n - \frac{1}{n + 1} | n \in

ℕ,

n \geq 1}

Die Menge

M

heißt nach unten beschränkt, wenn es ein

d

∈

R

gibt mit

n > d

für
alle

n

∈ M. Jedes

d

mit dieser Eigenschaft heißt untere Schranke von M.

Die Lösung:

{- \infty, 0}

b)

Wenn es eine größte untere Schranke von

M

gibt, dann bezeichnet man sie als
Infimum von

M,

in Zeichen inf M.

Die Lösung: inf (M)

= 0

c)

Ich danke, dass Supremum

M

nicht existiert, weil ich keine obere Schranke sehe.

rundblick aktiv_icon

19:18 Uhr, 23.04.2017

.
ok - deinen Vorschlag zu

c)

sehe ich auch so ..

und zu

a)

und insbesondere zu

b)

ein Tipp:

schreib doch mal (für

n = 1,2,3, . .)

die ersten paar Glieder der Menge

M

ganz konkret auf

. .

.
vielleicht kommst du dann ins Grübeln..

?

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19:41 Uhr, 23.04.2017

a)

M := {n - \frac{1}{n + 1} | n \in

ℕ,

n \geq 1}

Für

n = 1 :

M := {1 - \frac{1}{1 + 1}} = \frac{1}{2}

Für

n = 2 :

M = \frac{5}{3}

Für

n = 3 :

M = \frac{11}{4}

Also nur für

n = 1

ist

n > d,

daraus folgt: 1 ist die untere Schranke

b)

Dann inf

(M) = 1,

weil 1 die einzige untere Schranke ist.

Ist meine Überlegung richtig?

abakus

19:51 Uhr, 23.04.2017

1 kann nicht untere Schranke von M sein, da du selbst ein Element von M angeben konntest, das kleiner als 1 ist.

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19:58 Uhr, 23.04.2017

Dann

\frac{1}{2}

ist die einzige untere Schranke von M?

rundblick aktiv_icon

20:02 Uhr, 23.04.2017

.
Mann!

die Elemente der Menge

M

sind die Glieder der streng monoton wachsendenZahlenfolge

a_{n} = n - \frac{1}{n + 1}

und selbst hereinschneiende Gäste erkennen richtig, dass also

\to 1

nicht inf(M) sein wird.

und ausserdem:
das was du oben in der Zeile nach

\to

"Für

n = 1 :

" geschrieben hast ist Nonsens :

M

ist nicht

= \frac{1}{2} .

. usw..

.

abakus

20:08 Uhr, 23.04.2017

"Dann 1/2 ist die einzige untere Schranke von M?"

Nein. Nach langem Nachdenken habe ich auch noch die Zahl -377 als weitere untere Schranke von M gefunden. Kann sein, es gibt noch mehr.

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19:10 Uhr, 25.04.2017

Alle unteren Schranken:

M := {\frac{1}{2}, \frac{5}{3}, \frac{11}{4}, \frac{19}{5}, \frac{29}{6}, ... .}

Die Elemente werden immer grösser. Das kleinste ist

\frac{1}{2}

.
Nun sollte bei

a)

gelten:

A = {x

∈ ℝ

| x

≤

\frac{1}{2}}

b)

inf

(M) = \frac{1}{2}

abakus

19:30 Uhr, 25.04.2017

Deine Antwort zu b) ist richtig.
Das Infimum von M ist 1/2.

Da das Infimum als größte untere Schranke definiert ist, sind alle Schranken kleiner oder gleich 1/2.

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