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Bestimmen Sie die Dichte von |X| und anschließend

Universität / Fachhochschule

23:38 Uhr, 11.06.2020

Es sei X ∼ N (0, 1) ein standardnormalverteilte Zufallsvariable. Bestimmen Sie die Dichte von |X| und anschließend von

X^{2}

(Beachten Sie, dass

X^{2} = ∣ X^{2} ∣

)

Komme da irgendwoe nicht weiter mit dieser Dichte, wisst ihr wie das geht? :(

02:42 Uhr, 12.06.2020

Für die Dichte

f

von

∣ X ∣

muss gelten

P (∣ X ∣ \leq a) = \int_{- \infty}^{a} f (x) d x

.
Da

P (∣ X ∣ \leq a) = 0

für

a < 0

, folgt, dass

f (x) = 0

für

x < 0

. Und damit

P (∣ X ∣ \leq a) = \int_{0}^{a} f (x) d x

Andererseits gilt

P (∣ X ∣ \leq a) = P (- a \leq X \leq a) = \int_{- a}^{a} f_{n} (x) d x

mit der Dichte

f_{n} (x) = \frac{e^{- x^{2} / 2}}{\sqrt{2 π}}

. Da

f_{n}

eine gerade Funktion ist, folgt

P (∣ X ∣ \leq a) = 2 \int_{0}^{a} f_{n} (x) d x

.
Daraus folgt jetzt, dass

f (x) = 2 f_{n} (x)

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