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Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes Q, der..

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Vektorräume

Tags: Vektorraum

Heisenberg2014 aktiv_icon

13:12 Uhr, 14.05.2014

Würde gerne wissen wie man auf 2Wurzel2 komm in der Lösung , wäre dankbar für ein Gedanken Anstoss..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

13:15 Uhr, 14.05.2014

Du brauchst

20

Längeneinheiten in Richtung

(3, - 5, 4)

, deshalb ist zuerst mal wichtig zu wissen, was denn eine Längeneinheit in diese Richtung ist.
Dafür brauchst Du die Länge von

(3, - 5, 4)

zu berechnen. Sie ist

\sqrt{3^{2} + 5^{2} + 4^{2}} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}

.
Deshalb ist eine Längeneinheit in Richtung

(3, - 5, 4)

durch den Vektor

\frac{1}{5 \sqrt{2}} (3, - 5, 4)

realisiert.
Der Rest sollte klar sein.

Heisenberg2014 aktiv_icon

13:55 Uhr, 15.05.2014

5 Wurzel 5 ist aber nicht richtig

,

in der Lösung steht 2Wurzel2 , oder war das ein tipp Fehler

DrBoogie aktiv_icon

14:00 Uhr, 15.05.2014

Wo habe ich Wurzel aus 5?

Bei mit steht: eine Längeneinheit=

\frac{1}{5 \sqrt{2}}

mal Vektor.
Dementsprechend sind 20 Längeneinheiten =

20 \cdot \frac{1}{5 \sqrt{2}}

mal Vektor.
Und

20 \cdot \frac{1}{5 \sqrt{2}} = 2 \sqrt{2}

. Oder, Herr Heisenberg? ;-)

Heisenberg2014 aktiv_icon

12:19 Uhr, 16.05.2014

würde gerne den Schritt erklärt bekomme auf dem Foto , und muss über dem Bruchstrich immer eine 1 stehen für eine Vektor Einheit ?

DrBoogie aktiv_icon

12:23 Uhr, 16.05.2014

"würde gerne den Schritt erklärt bekomme auf dem Foto"

Welchen Schritt?

"und muss über dem Bruchstrich immer eine 1 stehen für eine Vektor Einheit?"

Was ist "Vektor Einheit", welcher Bruchstrich?

Man bitte einfach selber die folgende viel einfachere Aufgabe:
welcher Punkt ist 10 Längeneinheiten von

(1, 0, 0)

in Richtung des Vektors

(0, 3, 0)

entfernt?

Ich möchte einfach verstehen, was Du nicht verstehst.

Heisenberg2014 aktiv_icon

13:38 Uhr, 16.05.2014

Ist das so richtig ?

Heisenberg2014 aktiv_icon

13:40 Uhr, 16.05.2014

So richtig ?

DrBoogie aktiv_icon

13:59 Uhr, 16.05.2014

Nein, leider nicht.

Es muss in Richtung

(0, 3, 0)

gehen, bei Dir geht es aber in Richtung

(1, 1, 1)

.

Ich versuche es von der anderen Seite. Wenn eine Richtung durch einen Vektor

(v_{1}, v_{2}, v_{3})

gegeben ist, dann bestimmt jeder Vektor der Form

(a v_{1}, a v_{2}, a v_{3})

mit beliebigem

a > 0

dieselbe Richtung. Das ist einfach geometrisch zu sehen:

a

macht den Vektor nur kürzer oder länger, ändert aber nicht die Richtung. Deshalb ist die Richtung von

(1, 1, 1)

dieselbe wie die Richtung von z.B.

(5, 5, 5)

.
Aber von allen Vektoren, welche dieselbe Richtung haben, gibt's nur einen mit der Länge

1

, diesen einen bestimmt man dadurch, dass man einen beliebigen nimmt und durch seine Länge teilt. Deshalb, wenn ich einen Vektor in Richtung

(0, 3, 0)

brauche, aber einen von der Länge

1

, dann muss ich

(0, 3, 0)

durch die Länge

∣ (0, 3, 0) ∣

teilen. Diese Länge ist

\sqrt{0^{2} + 3^{2} + 0^{2}} = 3

. Also ist der Vektor der Länge

1

in Richtung

(0, 3, 0)

der Vektor

(0, 3, 0) / 3 = (0, 1, 0)

. Das ist dann auch die "Längeneinheit in Richtung

(0, 3, 0)

". Also, die "Längeneinheit in Richtung

(a, b, c)

" ist immer der Vektor

(a, b, c) / \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

.

Damit wäre die Lösung für meine Aufgabe:

(1, 0, 0) + 10 \cdot (0, 1, 0) = (1, 10, 0)

.

Und übrigens,

(1, 0, 0) + 10 / 3

darf man überhaupt nicht schreiben, denn das ist sinnlos, man kann keinen Vektor mit einer Zahl addieren.

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