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Bestimmen der Basis eines Lösungsraums - Matrix

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: basis, Lösungsraum, Matrizenrechnung

Daredevil2201 aktiv_icon

15:18 Uhr, 01.12.2023

Hallo zusammen,

Ich hätte eine Frage bezüglich einer Matrixrechnung.

Die Aufgabe ist wie folgt:

Bestimmen Sie für die folgende Matrix A ∈ Mat3,5(Z/7Z) eine Basis des Lösungsraums L(A,0)⊆(Z/7Z)^5

A = (\begin{matrix} 1 & 5 & 4 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 3 & 6 & 1 \end{matrix})

Ich habe das ganze mal auf ZSF form gebracht und hab folgendes herausbekommen:

A = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 4 \end{matrix})

Nun muss ich laut Skript für jede freie Variable einen Lösungsvektor konstruieren, indem ich als Wert für die freie Variable 1 und die anderen freien Variablen 0 wähle und dass dann halt für alle freien Variablen.

Da meine Pivots für

x 1, x 2, x 3

jeweils 1 sind, sind ja

x 4

und

x 5

die freien Variablen oder?
Wie genau muss ich jetzt hier weiter vorgehen? Dankend für jede Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

michaL aktiv_icon

16:07 Uhr, 01.12.2023

Hallo,

ich habe deine Zeilenstufenform nicht nachgerechnet.

Grundsätzlich hast du aber recht, dass die Variablen, die durch die letzten beiden Spalten repräsentiert werden, die freien Variablen sind, bzw. zweckmäßig diese als freie Variablen behandelt werden sollten. (Da du die Zeilenstufenform eben so hergestellt hast, wie du es getan hast.)

Nun geht es darum, die freien Variablen so zu belegen, dass die entstehenden Vektoren linear unabhängig sind.
Das müssen also nicht von vorneherein Nullen oder Einsen sein.
Das hat sich nur als relativ einfacher Fahrplan erwiesen, damit man lineare Unabhängigkeit sicherstellen kann.

Du wählst also die Werte

x_{4}

und

x_{5}

einmal als

x_{4} = 1

und

x_{5} = 0

und rechnest mit diesem Satz den zugehörigen Vektor aus.
Dann wählst du

x_{4} = 0

und

x_{5} = 1

und verfährst ebenso.

Dadurch erhältst du zwei offenbar linear unabhängige Vektoren. Dass sie eben linear unabhängig sind, sieht man allein an der Form der Vektoren, die ja offenbar wie folgt aussehen:

(\begin{array}{c} * \\ * \\ * \\ 1 \\ 0 \end{array})

bzw.

(\begin{array}{c} * \\ * \\ * \\ 0 \\ 1 \end{array})

Aus den letzten beiden Einträgen wird deutlich, dass diese Vektoren linear unabhängig sein müssen. (Überlege vielleicht selbst einmal konkret, welche Rolle die Nullen dabei spielen!)

Ergänzungen:
1. Wären Brüche im Spiel, würde ich statt der Einsen geeignete Vielfache wählen (nur eben nicht Null), um mir das Rechnen zu vereinfachen.
2. Bei noch mehr freien Variablen wählt man für einen Vektor immer lauter Nullen, bis auf eine der freien Variablen. Das dann reihum.

Mfg Michael

Daredevil2201 aktiv_icon

16:36 Uhr, 01.12.2023

Danken für die schnelle Antwort,

Ich hoffe ich habe es richtig verstanden, ich habe dass jetzt einfach mal so probiert zu lösen:

x 4 = 1, x 5 = 0

[\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}]

x 4 = 0, x 5 = 1

[\begin{matrix} 3 \\ 6 \\ 4 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]

Basis=

[\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} 3 \\ 6 \\ 4 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]

Stimmt das so?

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