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Bestimmen die Minimalpolynome von α und β über Q

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: Abbildung, Algebra, bestimmen, Charakteristisches Polynom, Linear, Minimalpolynom, polynom

S-amalgh

16:59 Uhr, 08.12.2020

Es sei α ∈

C

eine Lösung der Gleichung α³

+

2α −

1 = 0

. Bestimmen Sie die Minimalpolynome
von α und β

:=

α²

+

α über Q.

Hinweis: wenden Sie den Satz von Cayley-Hamilton auf das charakteristische Polynom der Q-linearen Abbildung Q(α) → Q(α)

: x

→ βx an!

Hallo zusammen, könnte jemand mir helfen bitte?
Vielen Dank im Voraus! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

michaL aktiv_icon

17:09 Uhr, 08.12.2020

Hallo,

> Hallo zusammen, könnte jemand mir helfen bitte?

Ja, gerne. Wie kann dir denn außer
> "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg."
noch helfen?

Mfg Michael

ermanus aktiv_icon

19:42 Uhr, 08.12.2020

Hallo,
zum Vergleich:
in der Basis

1, α, α^{2}

habe ich für die zu

β

gehörige Matrix

A_{β} = (\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & 0 & - 2 \end{array})

heraus, und du?
Gruß ermanus

S-amalgh

19:46 Uhr, 08.12.2020

Wie kommst du darauf? :-)

ermanus aktiv_icon

21:16 Uhr, 08.12.2020

Hallo,
es ist

β \cdot 1 = 0 \cdot 1 + 1 \cdot α + 1 \cdot α^{2} .

Also stehen in der ersten Spalte die Koordinaten des Bildes von
1 bzgl. der Basis

1, α, α^{2}

, nämlich

0, 1, 1

.
Nun schau, welche Koordinaten das Bild

β \cdot α

von

α

unter der Multiplikation
mit

β

hat, das liefert dir die 2-te Spalte, die dritte
enthält dann die Koordinaten von

β \cdot α^{2}

...

DrBoogie aktiv_icon

22:15 Uhr, 08.12.2020

Ich bekomme

β \cdot α = α^{2} + α^{3} = α^{2} + 1 - 2 α = (1, - 2, 1)

.
Das soll doch die 2. Spalte sein? Oder?

ermanus aktiv_icon

22:19 Uhr, 08.12.2020

Da hast du Recht. Stehe wohl heute mit der einfachsten Algebra
auf Kriegsfuß.
Sorry :(

S-amalgh

23:54 Uhr, 08.12.2020

Die 3.Spalte:
β⋅

a^{2} = a^{3} + a^{4} = 1 - 2 a + a^{4} = 1 - 2 a + a - 2 a^{2} = 1 - a - 2 a^{2} = (1,

−

1, - 2)

.
Richtig so?
in der Basis

1, a, a^{2}

habe ich für die zu β gehörige Matrix

A_{β} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & - 2 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{matrix})

Stimmt? wenn ja, was soll ich jetzt noch machen?

ermanus aktiv_icon

23:59 Uhr, 08.12.2020

Du suchst doch das Minimalpolynom von

β

.
Also berechnest du das charakteristische Polynom von

A_{β}

.
Wenn dieses irreduzibel ist, dann ist es das Minimalpolynom.
Anderenfalls musst du die Teiler des charaktreristischen Polynoms
betrachten ...
Ich hoffe aber, dass das char. Polynom irreduzibel ist.

S-amalgh

00:24 Uhr, 09.12.2020

das charakteristische Polynom von

A_{β}

ist

x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 4

Die Nullstelle ist:

{0.659}

Das ist reduzibel oder?
wie kann ich das machen "die Teiler des charaktreristischen Polynoms betrachten"

ermanus aktiv_icon

00:33 Uhr, 09.12.2020

Nein,
du musst doch nach Irreduzibilität in

ℚ

gucken.
Über

ℝ

ist jedes Polynom ungeraden Grades

\geq 3

reduzibel.

ermanus aktiv_icon

00:43 Uhr, 09.12.2020

Da es sich um ein normiertes ganzzahliges Polnom handelt,
sagt der Satz von der rationalen Nullstelle (siehe Wikipedia)
oder das Lemma von Gauss (z.B. Wikipedia), dass eine rationale
Nullstelle ein ganzahliger Teiler von

- 4

sein muss.

S-amalgh

00:49 Uhr, 09.12.2020

ok sorry wenn ich jetzt dumme Frage stelle, aber was ist mein Fehler? die Nullstelle oder dass das Polynom reduzibel ist?
Vielen Dank im Voraus für deine Antwort :-)

ermanus aktiv_icon

00:53 Uhr, 09.12.2020

Die Nullstelle ist sicher nur eine Näherung; denn das Polynom
hat keine rationale (!) Nullstelle. Die einzigen Zahln, die als
Nullstellen in Frage kommen, sind

- 4, - 2, - 1, 1, 2, 4

gemäß den
Sätzen, die ich dir genannt habe.
Ist denn eine dieser Zahlen Nullstelle?

S-amalgh

00:59 Uhr, 09.12.2020

Nein keine dieser Zahlen ist Nullstelle

ermanus aktiv_icon

01:01 Uhr, 09.12.2020

Also irreduzibel und damit das Minimalpolynom :-)

S-amalgh

01:22 Uhr, 09.12.2020

Alles klar Vielen Dank für deine Hilfe! ich verstehe den Satz dank dir jetzt noch ;-))

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