Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Bestimmen ob eine Funktion periodisch ist

Bestimmen ob eine Funktion periodisch ist

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

battlejoe aktiv_icon

13:32 Uhr, 05.11.2011

Hallo,
Hab da ein Problem meine Aufgabe lautet: Welche der folgenden Funktionen ist periodisch?

f (x) = 2 +

tanx

f (x) =

1/(2-sinx)

f (x) = sin (2 x + \frac{Π}{3})

Also wir sollen bestimmen/berechnen ob diese Funktionen periodisch sind oder nicht.

Habe leider keine Ahnung wie ich dass beweisen soll. Bitte um Hilfe

Danke

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

anonymous

16:39 Uhr, 05.11.2011

Eine reelle Zahl

T

ist Periode einer in

D_{f} \subseteq ℝ

definierten Funktion

f,

wenn gilt:
- Zu jeder reellen Zahl

x \in D_{f}

existiert eine Zahl

x + T \in D_{f}

.
- Für jede Zahl

x \in D_{f}

gilt die Gleichung

f (x) = f (x + T)

.

Eine Funktion

f

ist periodisch, wenn sie mindestens eine Periode

T \neq 0

zulässt.

Damit kann man zum Beispiel zeigen, dass die Sinusfunktion periodisch ist:

f : ℝ \to ℝ, x \mapsto sin (x)

Satz:

2 π

ist eine Periode der Funktion

f

Beweis:
Da

2 π \in ℝ,

gilt für alle

x \in ℝ :

x \in ℝ \Leftrightarrow x + 2 π \in ℝ

Da zusätzlich

D_{f} = ℝ,

gilt für alle

x \in ℝ :

x \in D_{f} \Leftrightarrow x + 2 π \in D_{f}

Somit erfüllt

2 π

die erste Bedingung einer Periode.
Da

sin (x) = sin (x + 2 π)

für alle

x \in ℝ,

gilt für alle

x \in D_{f :}

f (x) = f (x + 2 π)

Somit erfüllt

2 π

auch die zweite Bedingung und ist somit Periode der Funktion

f

.
Da nun

f,

mindestens eine Periode ungleich 0 (nämlich

2 π)

zulässt, ist

f

(also die Sinusfunktion) periodisch.

Wenn man nun schon von einigen periodischen Funktionen weis, kann man auch folgende Eigenschaft der Komposition/Verkettung/Verknüpfung ausnutzen:

Sei

f

eine periodische Funktion, so ist die Komposition

g \circ f

der Funktionen

f

und

g

auch eine periodische Funktion.

Beweis:
Für alle

x \in ℝ

gilt:

x \in D_{f} \Leftrightarrow x + T \in D_{f}

f (x) = f (x + T)

für alle

x \in D_{f},

gilt für alle

x \in D_{f} :

f (x) \in D_{g} \Leftrightarrow f (x + T) \in D_{g}

Somit gilt für alle

x \in ℝ :

x \in D_{g} \Leftrightarrow x + T \in D_{g}

Damit ist die erste Bedingung erfüllt.

D_{g \circ f} \subseteq D_{f}

Für alle

x \in D_{g \circ f}

gilt:

g (f (x)) = g (f (x))

Für alle

x \in D_{f}

und somit auch für alle

x \in D_{g \circ f}

gilt:

f (x) = f (x + T)

Daraus folgt, das für alle

x \in D_{g \circ f}

gilt:

g (f (x)) = g (f (x + T))

Damit ist die zweite Bedingung erfüllt.
Die Periode der Funktion

T

ist daher immer Periode der Funktion

g \circ f

. Somit ist also

g \circ f

periodisch, wenn

f

periodisch ist.

Da die Tangensfunktion also eine periodische Funktion ist, ist die Funktion

f

mit

f (x) = 2 + tan (x)

auch periodisch. Denn

f

kann als Komposition der Tangensfunktion und einer Funktion mit dem Funktionsterm

2 + x

angesehen werden. Damit wäre deine erste Aufgabe schon gelöst.

Ich hoffe ich habe nun genügend Lösungsansatz geliefert, dass du die anderen beiden Aufgaben selbst schaffst.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

935100

934980

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?