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Bestimmen sie den Erwartungswert

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: bestimmen, Binomialverteilung, Erwartungswert, sigma Regel

JaimeParis aktiv_icon

17:47 Uhr, 12.11.2012

Aufgabe lautet wie folgt: Bestimmen sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Binomialverteilung. Geben sie den Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit an. Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeit des 2o-Intervalls.

a) n = 15, p = 0.3

Meine Lösung:

E = 15 \cdot 0.3 = 4.5

Standardabweichung:

o =

√15*0.3(1-0.3)

= 1.7748

Wahrscheinlichkeit des 2o-Intervalls:

P (4.5 - 2 \cdot 1.7748) < P (4.5 + 2 \cdot 1.7748)

1 < 8

P (1 < x < 8)

P (x < 8) - p (x < 0)

= F (15,0 . 3,8) - F (15,0 . 3,0)

= 0.9888 = 98.88 % (99 %)

Man sollte diese Wahrscheinlichkeit mit der im Buch angegebene Näherung für das 2o-Intervall vergleichen. Dort beträgt sie

95.4 %

Ist mein Lösungsweg richtig bzw. kann das Ergebnis so stimmen ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bernoulli-Experimente

prodomo aktiv_icon

18:20 Uhr, 12.11.2012

Bei

1 < x < 8

bist du davon ausgegangen, dass nur ganze Zahlen vorkommen können. Das ist aber nicht vorgegeben. Mit

σ = 1,7748

ergeben sich andere Grenzen.
Wenn nur ganzzahlige

k

möglich sind, musst du an der linken Grenze mit

k - 0,5

und rechts mit

k + 0,5

rechnen, um den Effekt auszugleichen, dass im Histogramm die mBalken immer von

k - 0,5

bis

k + 0,5

reichen und die Glockenkurve ja die Grenzform des Histogramms ist.

JaimeParis aktiv_icon

19:46 Uhr, 12.11.2012

Hmmmm und wie kann ich das in die Rechnung einbauen?

prodomo aktiv_icon

07:42 Uhr, 13.11.2012

Aus der Gleichung

x = \frac{k - μ}{σ}

wird schon klar, dass die Abweichung vom Mittelwert in

σ -

Schritten gezählt wird. Daher liegen in einer exakten

2 σ -

Umgebung IMMER

95,4 %

aller Werte. Mit ganzzahligen Werten für

k

kannst du aber keine exakte

σ -

Umgebung formulieren, da die Einteilung viel zu grob ist. Die Aufgabenstellung "vergleichen sie.." ist offen gesagt Unsinn. In vielen Lehrbüchern werden gerade die festen Größen der

σ -

Umgebungen betont.

JaimeParis aktiv_icon

09:27 Uhr, 13.11.2012

Danke für die Antwort! Wir haben das so gelernt, dass wir ab- und aufrunden müssen. Macht zwar einen großen Unterschied im Ergebnis, aber so hat er uns es gezeigt

prodomo aktiv_icon

12:17 Uhr, 13.11.2012

Mir ist gerade klargeworden, wo das Problem liegt. Bei der Binomialverteilung gilt die sigma-Regel nicht, nur bei der Näherung mit der Standardnormalverteilung. Aber Fragen wie deine tauchen auch normalerweise erst auf, wenn die Normalverteilung eingeführt ist. Insofern haben wir vielleicht aneinander vorbei gerechnet. Dass ihr runden müsst, deutet auf nur ganzzahlige

k

hin.

Matlog aktiv_icon

12:27 Uhr, 13.11.2012

Ich finde, wir sollten hier genau zwischen Binomialverteilung und Normalverteilung unterscheiden.

Laut Aufgabenstellung ist

X

hier binomialverteilt, kann also nur ganze Zahlen annehmen.
Jetzt soll man die Wahrscheinlichkeit des

2 σ

-Intervalls bestimmen, also

P (0,9504 \leq X \leq 8,0496)

.
Jetzt geht es übrigens nicht um Runden, sondern einfach darum, welche ganzen Zahlen in diesem Intervall liegen, hier also

P (1 \leq X \leq 8) = P (X \leq 8) - P (X = 0)

.

Wenn man nun

P (1 \leq X \leq 8)

über eine Approximation durch die Normalverteilung berechnen wollte, dann wäre prodomos Stetigkeitskorrektur ("-0,5 und +0,5") angebracht und wichtig.
Hier soll aber nur die Wahrscheinlichkeit bei dieser Binomialverteilung berechnet werden, wie JaimeParis es gemacht hat (nur bitte exakter aufschreiben:

\leq

statt

<)

.

Die

95,4 %

sind natürlich nur bei einer Normalverteilung exakt. Welchen Sinn ein Vergleich jetzt macht, möchte ich gar nicht beurteilen.

(Sorry, ich hatte prodomos letzten Beitrag noch nicht gelesen! Ich hätte mir das hier also auch sparen können.)

JaimeParis aktiv_icon

15:09 Uhr, 13.11.2012

Danke für diese ausführliche Antwort.
Heute habe ich meine Hausaufgabe vorgetragen und es ist auch richtig so.
Und wegen dem Vergleich. Ich habe es dummerweise falsch notiert. Ein Vergleich ist natürlich total sinnlos in dem Fall.

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