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Bestimmen von Punkten, sodass sie auf einer Gerade

Schüler Gymnasium,

Tags: Lageaufgaben, Vektorrechnung

cacharel aktiv_icon

09:46 Uhr, 04.03.2011

Hallo :-)
ich habe eine Frage zu meiner Hausaufge, habe ich die so richtig gemacht?

Aufgabe: Kann man bei der durch die Parameterdarstellung gegebenen Geraden die Koordinaten der Punkte so bestimmen, dass sie auf der Geraden liegen? Begründe.

\vec{x} = (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

A (x_{1} | 1 | - 1), B (0 | x_{2} | 0), C (1 | x_{2} | x_{3})

für A habe ich wie folgt gerechnet:

x_{1} = - 1 + 2 \cdot t

1 = 2 + r | - 2

- 1 = 0 + r

x_{1} = - 1 + 2 \cdot r

r = - 1

r = - 1

x_{1} = - 1 + 2 \cdot (- 1)

= - 3

r = - 1

\Rightarrow A (- 3 | 1 | - 1),

liegt auf der Geraden, wenn das Paremeter

- 1

gilt.

für

B :

0 = - 1 + t \cdot 2 | + 1

x_{2} = 2 + t | - 2

0 = s

1 = 2 \cdot s

- 2 = x_{2}

0 = s

B (0 | - 2 | 0),

liegt nicht auf der Geraden, da es kein gemeinsames Parameter gibt.

und bei

C

habe ich genauso gerechnet und bekomme raus:

1 = t

- 4 = t

x_{3} = t

und der Punkt würde dann auch nicht auf der Geraden liegen, stimmt das?

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Edddi aktiv_icon

10:10 Uhr, 04.03.2011

...wo kommt denn dein

r

her?

Ansatzweise war's schon richtig, du musst nur den Punkt als Lösung einsetzen und schauen, ob es einen Parameter

t

gibt, der die Gleichung erfüllt:

\vec{x} = (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

Einsetzen von

A (\begin{matrix} x_{1} \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) :

(\begin{matrix} x_{1} \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

(\begin{matrix} x_{1} \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) = t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

(\begin{matrix} x_{1} + 1 \\ 1 - 2 \\ - 1 - 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{1} + 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix}) = t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

für

t = - 1

sind untere beiden Gleichungen erfüllt, also kann mittels

t = - 1

nun auch

x_{1}

bestimmt werden:

x_{1} + 1 = - 1 \cdot 2 \Leftrightarrow x_{1} = - 3

Damit ist:

A (\begin{matrix} x_{1} \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) = A (\begin{matrix} - 3 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})

..ist auch deine Lösung.

Für

B (\begin{matrix} 0 \\ x_{2} \\ 0 \end{matrix})

analog:

(\begin{matrix} 0 \\ x_{2} \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 + 1 \\ x_{2} - 2 \\ 0 - 0 \end{matrix}) = t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

(\begin{matrix} 1 \\ x_{2} - 2 \\ 0 \end{matrix}) = t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

Da es kein

t

gibt, für dass:

1 = t \cdot 2

und

0 = t \cdot 1

gilt KANN

B

nicht auf der Geraden liegen, egal welchen Wert

x_{2}

auch immer haben würde.

Zum letzten Punkt:

(\begin{matrix} 1 \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

Für

t = 1

ist obere Gleichung erfüllt (Rechenweg erspar' ich mir), somit gibt es auch ein bestimmtes

x_{2}

und

x_{3}

welches einfachst errechnet werden kann...

;-)

cacharel aktiv_icon

14:14 Uhr, 04.03.2011

achso, dann war mein ansatz ja nicht schlecht, ja und das

r

sollte

t

sein, bin wohl immer daneben auf die taste gekommen.
danke :-)

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