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Bestimmen von Residuen

Universität / Fachhochschule

Funktionentheorie

Tags: Funktionentheorie, Residuen, Residum

4pf3lb4um aktiv_icon

21:29 Uhr, 24.02.2015

Hallo zusammen,

ich bin dabei allerlei Residuen zu bestimmen, als Übung für meine Klausur. Leider habe ich bei folgender Funktion nicht den Hauch eines Ansatzes:

g (z) = \frac{1 - \cos (z)}{z^{2}}

Bei

f (z) = \frac{\cos (z)}{z^{2}}

denke ich, habe ich alles bestimmen können:

Singularität in 0.
mit

(z - b)^{n} f (z)

hebbare Singularität in b aber nicht in

(z - b)^{n - 1} f (z)

bestimmt zu Polstelle 2. Ordnung.
da

\frac{1}{(z - b)^{n}} h (z)

existiert:

r e s_{b} f = \frac{1}{(n - 1)!} h^{n - 1} (b)

ergibt sich ein Residuum von 0.

Aber dieses doofe "1-" in g(x) macht mir sehr zu schaffen irgendwie...

PS: Die Aufgabe gibt es auch als

g (z) = \frac{\cos (z) - 1}{z^{2}}

, da bin ich genauso überfragt :-(

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Danke im Voraus und LG
4pf3lb4um

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ledum aktiv_icon

01:28 Uhr, 25.02.2015

Hallo
errsetze

cos (z)

durch die Reihe!
Gruß ledum

4pf3lb4um aktiv_icon

14:19 Uhr, 25.02.2015

Hallo ledum,
danke für deine Antwort.

g (z) = \frac{1}{z^{2}} - \sum_{n = 0}^{inf} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n)!} z^{2 n - 2}

soweit hab ichs bis jetzt, komme aber nicht weiter.
LG

ledum aktiv_icon

15:56 Uhr, 25.02.2015

Wenn du

\frac{1}{z^{2}}

aus der Summe ziehst fängt die nicht mehr bei 0 an, du hast also in der Summe nur noch pos Exponenten, und dazu

\frac{1}{z^{2}}

welches Residuum gehört dazu?
Gruß ledum

4pf3lb4um aktiv_icon

16:02 Uhr, 25.02.2015

ich habe

\frac{1}{z^{2}}

ja nicht aus der Summe gezogen sondern vorher:

g (z) = \frac{1 - \cos (z)}{z^{2}} = \frac{1}{z^{2}} - \frac{\cos (z)}{z^{2}}

und dann vom rechten Teil die Summe geschrieben. Deswegen bin ich derzeit wohl auch so verwirrt :-D)

ledum aktiv_icon

16:06 Uhr, 25.02.2015

Hallo
sorry., du hast recht. Aber vielleich zeihst du mal den ersten Summanden raus, un fängst die Summe bei

n = 1

an.
Dann sollte das Res. klar sein
Gruss ledum

4pf3lb4um aktiv_icon

16:19 Uhr, 25.02.2015

oh mann :-D)

g (z) = - \sum_{n = 1}^{inf} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n!)} z^{2 n - 2}

bleibt dann übrig. Ist das Residuum nun 0, da alle

a_{n} = 0

für n<0?

4pf3lb4um aktiv_icon

16:46 Uhr, 25.02.2015

moment...

g (z) = - \sum_{n = - 1}^{inf} \frac{(- 1)^{n + 2}}{(2 (n + 2)!)} z^{2 n}

dann wäre es ein Pol 1. Ordnung und mein Residuum wäre das

a_{- 1}

-te Glied. Jetzt hab ichs oder? :-D)

pwmeyer aktiv_icon

17:06 Uhr, 25.02.2015

Hallo,

ein kleiner Tipp: Wenn es mit dem Summenzeichen nicht ganz klar ist, schreib doch von der Reihe mal die ersten 3 oder 4 Terme explizit hin und rechne damit.

Gruß pwm

4pf3lb4um aktiv_icon

17:52 Uhr, 25.02.2015

die Reihenglieder sind:

- (\frac{- 1}{2!} + \frac{1}{4!} z^{2} + \frac{- 1}{6!} z^{4}

...)

also doch res = 0 weil hebbar? Ich bin immer mehr verwirrt :-/

ledum aktiv_icon

01:22 Uhr, 26.02.2015

Hallo
fas Residuum ist 0 wel die Funktion integrierbar ist und deshalb über einen geschlossenen Weg um

00

ergibt.
Gruß ledum

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