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Bestimmen von Wendetangente bei Funktionsschar?

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Analysis, Funktionenschar, Wendetangente

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20:37 Uhr, 16.05.2009

hallo, ich hätte mal ne frage zu dieser funktionsschar:

\frac{4}{a x^{2} + 1}

die wendepunkte hab ich bei den

x

-koordinaten wurzel

\frac{1}{3 a}

und - wurzel

\frac{1}{3 a}

die

y

-koordinate ist

3,

aber irgendwie
bekomme ich jetzt keine wendetangente heraus!?

freue mich über jede hilfreiche antwort :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)

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20:49 Uhr, 16.05.2009

Was du noch brauchst ist die Steigung dieser Tangente an der Wendestelle w , also f'(w)

Cauchy09

20:50 Uhr, 16.05.2009

Wendestellen:

x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot \sqrt{a}}

und

x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot \sqrt{a}}

Steigung in den Wendestellen:

m_{1} = \frac{3 \sqrt{3} \sqrt{a}}{2}

und

m_{2} = - \frac{3 \sqrt{3} \sqrt{a}}{2}

Wendetangenten:

t_{1} : y = \frac{3 \sqrt{3} \sqrt{a}}{2} \cdot x + \frac{9}{2}

t_{2} : y = - \frac{3 \sqrt{3} \sqrt{a}}{2} \cdot x + \frac{9}{2}

(a > 0)

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21:07 Uhr, 16.05.2009

also wenn ich

\sqrt{\frac{1}{3 a}}

und

- \sqrt{\frac{1}{3 a}}

in die 1.ableitung

als

x -

wert einsetze, bekomme ich diese beiden anstiege

m

heraus?

wie kann man die wendestellen denn in

\frac{3}{3 \cdot \sqrt{a}}

umschreiben?

Cauchy09

21:18 Uhr, 16.05.2009

Ja,

m

bekommst du so heraus.

Die Werte sind gleich (ist ganz egal wie mans schreibt):

\sqrt{\frac{1}{3 a}} = \frac{1}{\sqrt{3} \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3} \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{a}}

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21:57 Uhr, 16.05.2009

das ist bestimmt einfach, aber ich verstehs grad echt nicht

: (

wenn man es ganz ausführlich aufschreibt, steht doch da

(i n

die erste ableitung eingesetzt):

\frac{- 8 a \cdot \sqrt{\frac{1}{3 a}}}{{(a \cdot {(\sqrt{\frac{1}{3 a}})}^{2} + 1)}^{2}}

oder? und wie macht man dann weiter? diese dumme wurzel, macht mich fertig...

Cauchy09

22:14 Uhr, 16.05.2009

\frac{- 8 a \cdot \sqrt{\frac{1}{3 a}}}{{(a \cdot {\sqrt{\frac{1}{3 a}}}^{2} + 1)}^{2}} = \frac{- 8 a \cdot \sqrt{\frac{1}{3 a}}}{{(a \cdot \frac{1}{3 a} + 1)}^{2}} = \frac{- 8 a \cdot \sqrt{\frac{1}{3 a}}}{{(\frac{1}{3} + 1)}^{2}} = \frac{- 8 a \cdot \sqrt{\frac{1}{3 a}}}{\frac{16}{9}}

= - 8 a \cdot \sqrt{\frac{1}{3 a}} \cdot \frac{9}{16} = - \frac{9}{2} \cdot a \cdot \sqrt{\frac{1}{3 a}} = - \sqrt{\frac{81}{4} \cdot a^{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{3 a}} = - \sqrt{\frac{81}{4} \cdot a^{2} \cdot \frac{1}{3 a}}

= - \sqrt{\frac{81 a}{12}} = - \frac{9 \sqrt{a}}{\sqrt{12}} = - \frac{9 \sqrt{a} \sqrt{12}}{\sqrt{12} \sqrt{12}} = - \frac{9 \sqrt{a} \sqrt{4 \cdot 3}}{12} = - \frac{3 \sqrt{a} \cdot 2 \cdot \sqrt{3}}{4}

= - \frac{3 \sqrt{3} \sqrt{a}}{2}

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17:10 Uhr, 17.05.2009

dankeschön, dankeschön, dankeschön, jetzt hab ich den teil schon mal mehr als kapiert :-)
ich hätte nur noch eine letzte frage, wenn ich jetzt in die tangentengleichung den x-wert einsetze kommt dann nicht bei beiden 3 raus?

also:

- \sqrt{\frac{81 a}{12}} \cdot \sqrt{\frac{1}{3 a}} + \frac{9}{2}

= - \sqrt{\frac{81 a}{36 a}} + \frac{9}{2} = - \frac{3}{2} + \frac{9}{2} = 3

oder nicht?!

achso und ich bin grad an der teilaufgabe, allerdings weiß ich da überhaupt nicht wie ich beginnen soll

: (

wer sich diese formulierungen ausdenkt...:

"als näherungsfunktion von

G_{a}

im bereich zwischen den wendepunkten von

G_{a}

soll die parabel

p_{a}

dienen. ihr graph

P_{a}

hat mit

G_{a}

die waagerechte tangente gemeinsam und schneidet

G_{a}

in den wendepunkten von

G_{a}

"

so ich soll jetzt die funktionsgleichung

p_{a} (x)

bestimmen und die wendepunkte hab ich ja, aber wie fang ich denn jetzt an.
das vorgegebene ergebnis lautet

p_{a} (x) = - 3 \cdot a \cdot

x²

+ 4

wie komm ich denn überhaupt darauf, weil ich in der nächsten aufgabe damit weiterrechnen soll...

maxi^^

magix aktiv_icon

10:25 Uhr, 18.05.2009

Eine Parabel hat die allgemeine Form
f(x)=ax^2+bx+c
Du hast die Punkte

(\sqrt{\frac{1}{3 a}}; 3)

und

(- \sqrt{\frac{1}{3 a}}; 3)

. Die kannst du in die allgemeine Gleichung einsetzen.
Dann hast du noch die Information mit der waagrechten Tangenten. Eine waagrechte Tangente liegt vor, wenn die erste Ableitung gleich Null ist. Wenn du bereits einen solchen Punkt für

G_{a}

berechnet hast, dann kannst du seinen x-Wert in die 1. Ableitung der allgemeinen Parabelgleichung einsetzen und gleich Null setzen.
Damit hast du dann drei Gleichungen und drei Unbekannte, so dass nur noch Umformungen der Gleichungen mit Additons- und Einsetzungsverfahren nötig sind, um

a, b,

und

c

zu ermitteln.

Gruß Magix

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20:18 Uhr, 18.05.2009

danke für den hinweis^^ also eigentlich würd ich das thema jetzt abschließen auch wenn die frage nicht zu

100 %

gelöst wurde :-P) danke an die helfer

+

ihre schnellen antworten, es hat mir echt alles geholfen..., wenn euch noch was einfällt, könnt ihr mir ja noch ne nachricht schicken (speziell zu der teilaufgabe).

schreib morgen 5 stunden klausur mal schauen ob sich das viele rechnen gelohnt hat :-D)
bis zur nächsten frage, maxi

-maxi- aktiv_icon

20:19 Uhr, 18.05.2009

danke für den hinweis^^ also eigentlich würd ich das thema jetzt abschließen auch wenn die frage nicht zu

100 %

gelöst wurde :-P) danke an die helfer

+

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