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Bestimmen von inversen Polynomen
Universität / Fachhochschule
Tags: Algebra
 
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anonymous 02:33 Uhr, 19.03.2004  |
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Hallo! Vielleicht hat hier jemand eine Antwort auf folgendes Problem: Bekanntlich bildet ja jeder Körper bezüglich der Addition und der Multiplikation eine Gruppe, besitzt also neutrales Element und Inverse. In Restklassenkörpern, wobei natürlich das Modul eine Primzahl sein muss, um die Gruppeneigenschaft der Multiplikation sicherzustellen, gilt demnach x*x^-1=1. Wenn wir jetzt einen Polynomkörper K[x] über einen Restklassenköper K bilden und ihn dann als Quotientenkörper K[x]/P nach der Kongruenz modulo eines irreduziblen Polynom P definieren, gelten dann darin natürlich die allgemeinen Körpereigenschaften, also auch die Existenz der Inversen. Das irreduzible Polynom ist ja hier gleichbedeutend wie die Primzahlmodule in normalen Restklassengruppen/-körpern. Mein Problem ist nun zu einem Polynom Q, welches Element aus solch einem Quotientenkörper K[x]/P ist, das multiplikative Inverse zu bestimmen. Also formal: Sei Q Element aus K[x]/P, dann gilt Q*Q^-1 mod P = 1(Einspolynom). Zu finden ist also Q^-1. Mit den additiven Inversen hat man dagegen keine Probleme, da man nur die Vorzeichen des Polynoms ändern muss, so das gilt P +(-P) = 0(Nullpolynom). Für Polynomringe würde dies ja reichen. Für das multiplikative Inverse hatte ich es schon mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus durch Auflösung zum Rest 1 versucht, hat aber irgendwie nicht hingehauen (bei gewöhnlichen Restklassen klappt das ja ganz gut). Vielleicht habe ich mich aber auch verrechnet, da man unter Umständen sehr häufig Polynomdivision anwenden muss. Man muss halt immer modulo P rechnen, also der Rest aus der Polynomdivision Q:P ist entscheidend. Aber vielleicht bin ich da auch komplett aufm Holzweg. Für irgendwelche Ideen oder Vorschläge wäre ich dankbar. |
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Hallo, also der Weg mit dem euklidischen Algorithmus ist auf jeden Fall richtig. Wenn du mir deine Rechnung mitteilst, kontrolliere ich sie dir und sage dir, wo dein Fehler liegt. Viele Grüße Stefan www.matheraum.de |
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anonymous 16:27 Uhr, 19.03.2004 |
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Hallo mein Namensvetter Stefan (-: Danke für die rasche Antwort. Ich werde nochmal zur gegebener Zeit ein entsprechendes Beispiel mit dem Euklidischen Algorithmus durchrechnen. Vielleicht hatte ich mich nur bei der Polynomdivision vertan oder beim modulo rechnen. Falls ich immer noch probleme damit haben sollte, dann gebe ich dieses Beispiel mal hier an. |
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