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Bestimmt zwie orthogonale Einheitsvektoren...

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Ebene, Einheitsvektor, Koordinatenform, orthogonalität

sweenysilke aktiv_icon

17:52 Uhr, 16.06.2009

Hallo!

Nochmal eine kleine Aufgabe, die ich nicht so ganz verstehe.
Hier möchte ich nur erklärt haben, wie ich das machen soll und warum.

Aufgabenstellung: Bestimmt zwie orthogonale Einheitsvektoren $e$ und $f,$ welche die Ebene $E$ aufspannen.

$E : x_{1} + x_{3} = 0$

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform
Lagebeziehung Ebene - Ebene
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)

HP7289 aktiv_icon

20:55 Uhr, 16.06.2009

Zuerst suchst du dir einen beliebigen Vektor

e

aus

E

mit Länge 1.

Jetzt kannst du

f

bestimmen mit:

| f | = 1

< e, f > = 0

sweenysilke aktiv_icon

18:57 Uhr, 17.06.2009

sorry, aba die antwort versteh ich garnich^^"

HP7289 aktiv_icon

16:19 Uhr, 18.06.2009

Z . B . :

e = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

Folgendes Gleichungssystem musst du lösen:

I:

e \cdot f = 0

II:

| f | = 1

f

hat die Gestalt

f = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})

0 \cdot x + 1 \cdot y + 0 \cdot z = 0

II:

\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = 1

III:

x + z = 0

y = 0

II:

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

III:

x + z = 0

I in II einsetzen:

II:

x^{2} + z^{2} = 1

III:

x = - z

III in II einsetzen:

{(- z)}^{2} + z^{2} = 1

2 z^{2} = 1

z^{2} = \frac{1}{2}

z = \frac{1}{2} \sqrt{2}

Also ist

f = (\begin{matrix} - \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ 0 \\ \frac{1}{2} \sqrt{2} \end{matrix})

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