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Bestimmte Divergenz

Universität / Fachhochschule

16:13 Uhr, 31.10.2010

Ich verstehe das nicht so ganz:

lim_{n \mapsto \infty} \frac{n^{2} + 2 n + 1}{2 n^{2} + 2} = \frac{1}{2}

Das sollen wir mit Hilfe der Definition von Konvergenz zeigen.

anonymous

16:48 Uhr, 31.10.2010

Hallo,

lim_{n \to \infty} (\frac{n^{2} + 2 \cdot n + 1}{2 \cdot n^{2} + 2})

= lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2} \cdot \frac{n^{2} + 2 \cdot n + 1}{n^{2} + 1})

= \frac{1}{2} \cdot lim_{n \to \infty} (\frac{n^{2} + 2 \cdot n + 1}{n^{2} + 1})

= \frac{1}{2} \cdot lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2 \cdot n}{n^{2} + 1})

= \frac{1}{2} \cdot (1 + lim_{n \to \infty} (\frac{2 \cdot n}{n^{2} + 1}))

hilft das weiter?

17:36 Uhr, 31.10.2010

Ich versuchs auch mal:

Definition der Konvergenz:

a \in ℝ

heißt Grenzwert der Folge

a_{n}

wenn für alle

ε > 0

ein

n_{0} (ε)

existiert, sodass

| a_{n} - a | < ε

für alle

n > n_{0} (ε)

.

Wähle

n_{0} (ε) = \frac{1}{ε},

dann ist

| \frac{n^{2} + 2 n + 1}{2 n^{2} + 2} - \frac{1}{2} | = | \frac{n}{n^{2} + 1} | < | \frac{\frac{1}{ε}}{\frac{1}{ε^{2}} + 1} | = \frac{ε}{ε^{2} + 1} < ε

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