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Bestimmter Integralausdruck unklar...

Universität / Fachhochschule

Tags: Infinitesimalrechnung, Integralrechnung, Integration

Sunny92 aktiv_icon

17:57 Uhr, 17.11.2013

Hi Leute,

ich versteh ein Integral aus dem Nolting (s. 438) nicht:

\int_{0}^{r} d x x^{2} e^{- (β x)} = \frac{d^{2}}{d β^{2}} \int_{0}^{r} d x e^{- (β x)}

Warum kann ich das Integral einfach in eine zweite Ableitung von einem anderen Integral umschreiben?

Irgendwie sehe ich das gerade überhaupt nicht ein…

Grüße
Sunny

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Sina86

18:24 Uhr, 17.11.2013

Hi,

"Irgendwie sehe ich das gerade überhaupt nicht ein…"

Das ist gut, man sollte nichts unhinterfragt hinnehmen, vor allem nicht, nur weil es im irgendeinem Buch so steht ;-)

Aber in diesem Fall ist es in der Tat richtig. Denn offensichtlich ist

\frac{d^{2}}{d β^{2}} e^{- β x} = x^{2} e^{- β x}

und wenn eine Funktion

f (x, t)

auf ihrem Definitionsbereich stetig partiell diff'bar ist, dann lassen sich im Integral

\int_{a}^{b} \frac{d}{d x} f (x, t) d t

die Ableitung und das Integral vertauschen. Das ist hier gegeben (die Funktion muss hier zweimal stetig partiell diff'bar sein, das ist aber gegeben). Dann ist

\int_{0}^{r} x^{2} e^{- β x} d x = \int_{0}^{r} \frac{d^{2}}{d β^{2}} e^{- β x} d x = \frac{d^{2}}{d β^{2}} \int_{0}^{r} e^{- β x} d x

Lieben Gruß
Sina

Sunny92 aktiv_icon

18:45 Uhr, 17.11.2013

Vielen Dank.

Mir war nicht (mehr) bewusst, dass es diesen Satz gibt mit der Vertauschung der Ableitung und des Integrals. Konnte mich nur noch an den Satz von Schwarz (Ableitungen sind vertauschbar) erinnern.

Damit ist das Integral dann natürlich einfach zu berechnen…

Grüße
Sunny

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