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Bestimmung Dimension vom Kern einer 3x4 Matrix
Universität / Fachhochschule
Matrizenrechnung
Tags: dimension, Kern, Lineare Abbildungen, Matrix
 
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Guten Morgen, Ich möchte gerne die Dimension des Kerns der folgenden Matrix betimmen. Ich trenne die Elemente in einer Zeile der Übersicht halber durch ein Komma. Dieses ist wegzudenken. Auch das voder der 0 ist wegzudenken. . Ich habe mir zunächst ähnliche Fragen im Matheforum zu diesem Thema angeguckt, hab aber keine Lösung zu meiner Frage gefunden. Aber noch habe ich die Hoffnung, dass mir jemand anhand meines Beispiels weiterhelfen kann. Ich bin nun so vorgegangen, dass ich die Matrix auf die Form einer oberen Dreiecksmatrix gebracht habe. Die Umformung lautet . Zeile (III. Zeile . Zeile) Die Umformung lautet . Zeile mal (III. Zeile - II. Zeile) Die Kopfvariablen lesen sich daraus ab: und sind KV, und sind Nichtkopfvariablen (NKV). Für die NKV kann ich beliebige Variablen einsetzten. Ich setze die einzelnen Zeilen da im Kern alle Vektoren enthalten sind, die auf den Nullvektor abgebildet werden. Aus der unteren der beiden Zeilen ist offensichtlich, dass Und aus der oberen Zeile ergibt sich für Soweit so gut. In den anderen Beispielen, die in Fragen hier im Forum auftauchten handelte es sich um Matrizen der Gestalt oder also quadratische Matrizen. Nun weiß ich nicht, wie ich die Lösungsmenge bestimmen soll, weil die Matrix 3 Zeilen hat und ich die Lösungsmenge nicht mit Vektoren von vier Zeilen angeben kann. Die Dimension des Kerns ergibt sich aus der Anzahl der linear unabhängigen Vektoren im Kern(A). Lauten die Zeilen der Lösungsmenge dann: ??? . Zur Erinnerung: Meine ursprüngliche Matrix hatte 3 Zeilen. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo,
also ich habe das gleiche raus. Ich glaube du bringst hier etwas durcheinander. Der Nullraum ist nicht der Spaltenraum. Wenn du ein LGS hast, dann ist dieses genau dann lösbar wenn im Spaltenraum liegt, aber die Lösung selbst muss es nicht. Die zwei Vektoren müssen ja nichts miteinander zutun haben ( z.b. Anzahl der Koordinanten ). Die Matrix bildet ja folgendermaßen ab: d.h. hat natürlich Koordinaten und nur . Die Lösung des LGS ist also ein Vektor mit Koordinaten und natürlich gibt es hier eine Lösung da im Spaltenraum liegt. Die Lösungen lauten ja hier: der Nullraum lautet also: der Nullraum wird also durch zwei lin. unabh. Vektoren aufgespannt und ist eine Teilmenge des Definitionsbereichs der linearen Abbildung. |
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