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Bestimmung: Fundamentalsystem+Determinante

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Determinanten, Fundamentalmatrix, Fundamentalsystem, Gewöhnliche Differentialgleichungen

Lyla93 aktiv_icon

14:56 Uhr, 22.11.2014

Hallo :-) Hier meine Aufgabe:

Seien

a_{1}, . . . a_{n} \in ℝ

und

a_{1} \neq 0

. Bestimme ein Fundamentalsystem für das DGL-System:

{\dot{x}}_{i} (t) = \sum_{j = 1}^{n} a_{j} x_{j} (t), i = 1, . . ., n

. Berechne zu der Fundamentalmatrix die Determinante.

- - - - - - - - - - - - - EIGENE IDEEN - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Okay, weil ich aus dem Stehgreif überhaupt keinen Plan habe, hab ich mir erstmal überlegt, wie das DGL-System ausgeschrieben aussehen würden.
Es gilt:
Für i=1:

{\dot{x}}_{1} (t) = a_{1} x_{1} (t) + a_{2} x_{2} (t) + . . . + a_{n} x_{n} (t)

Für i=2:

{\dot{x}}_{2} (t) = a_{1} x_{1} (t) + a_{2} x_{2} (t) + . . . + a_{n} x_{n} (t)

usw. bis für i=n:

{\dot{x}}_{n} (t) = a_{1} x_{1} (t) + a_{2} x_{2} (t) + . . . + a_{n} x_{n} (t)

Also hab ich mir mein DGL-System so aufgeschrieben:

(\begin{array}{rcl} {\dot{x}}_{1} (t) \\ {\dot{x}}_{2} (t) \\ . . . . \\ {\dot{x}}_{n} (t) \end{array}) = (\begin{array}{rcl} a_{1} & a_{2} & . . . & a_{n} \\ a_{1} & a_{2} & . . . & a_{n} \\ . . . & . . . & . . . & . . . \\ a_{1} & a_{2} & . . . & a_{n} \end{array}) (\begin{array}{rcl} x_{1} (t) \\ x_{2} (t) \\ . . . . \\ x_{n} (t) \end{array})

.

Stimmt das soweit, bzw. bringt es mir überhaupt was? Mein A sieht bisher ja total komisch aus (besteht aus n identischen Zeilen?).

Ich weiß, dass skalare DGL's n-ter Ordnung so definiert sind:

y^{(n)} (x) = \sum_{k = 0}^{n - 1} a_{k} (x) y^{(k)} (x)

und man betrachtet hier zunächst die DGL erster Ordnung, die aus n Gleichungen besteht: Y'(x)=A(x)Y(x) mit:

A (x) := (\begin{array}{rcl} 0 & 1 & . . . & 0 \\ . . . & . . . & . . . & 1 \\ a_{0} (x) & a_{1} (x) & . . . & a_{n - 1} (x) \end{array})

. Allerdings sehe ich hier keinen Zusammenhang mit meiner Aufgabe?

Bräuchte dringend Hilfe!
Liebe Grüße :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

20:29 Uhr, 22.11.2014

Hallo
das Fundamentalsysten besteht aus den Eigenvektoren von

A,

also erst mal die

det

. von

A - λ \cdot E

bestimmendu kannst das ja erstmal für

n = 3

tun um zu sehen wie es läuft.
Gruß ledum.

Lyla93 aktiv_icon

23:19 Uhr, 22.11.2014

Vielen Dank für deine Antwort :-)

Ich hab mich mal ans Werk gemacht:
Für n=3 bekomme ich folgendes System:

(\begin{array}{rcl} {\dot{x}}_{1} (t) \\ {\dot{x}}_{2} (t) \\ {\dot{x}}_{3} (t) \end{array}) = (\begin{array}{rcl} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{array}) (\begin{array}{rcl} x_{1} (t) \\ x_{2} (t) \\ x_{3} (t) \end{array})

Nun berechne ich erstmal das charakteristische Polynom (A st die Matrix mit den Einträgen

a_{1}, a_{2}, a_{3}

)
1.

d e t (A - λ E)

d e t (A - λ E) = (a_{1} - λ) (a_{2} - λ) (a_{3} - λ) + a_{1} a_{2} a_{3} + a_{1} a_{2} a_{3} - a_{1} a_{2} (a_{3} - λ) - (a_{1} - λ) a_{2} a_{3} - a_{1} (a 2 - λ) a_{3} = . . . = λ^{3} + λ^{2} (a_{1} + a_{2} + a_{3})

2. Eigenwerte:
Ich klammer zweimal das Lambda aus:

λ^{2} (λ + a_{1} + a_{2} + a_{3}) = 0

, d.h

λ = 0

wäre doppelte Nullstelle und

λ = - (a_{1} + a_{2} + a_{3})

ist einfache Nullstelle.

Stimmt das soweit? Soll ich dazu jetzt Eigenvektoren berechnen?

ledum aktiv_icon

00:14 Uhr, 23.11.2014

Hallo
zur Übung ist das gut, aber kannst du das jetzt schon sehen, wie es für

n

statt

3 l

äuft? dann mach es gleich allgemein.
Gruß ledum.

Lyla93 aktiv_icon

04:57 Uhr, 23.11.2014

Okay, ich denke mal für n statt 3 gilt dann folgendes:

d e t (A - λ E) = λ^{n} + λ^{n - 1} (a_{1} + a_{2} + . . + a_{n})

, damit ergibt sich für die Eigenwerte:

λ = 0

und

λ = - (a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n})

.

Nun wollte ich mich ans Eigenvektoren berechnen machen:
1. Für

λ = 0

A - λ E = A

. Wie soll ich denn jetzt hier die Eigenwerte berechnen? Ich weiß, dass Eigenvektoren mit der Formel

A * s = 0

(mit s= Eigenvektor) berechnet werden, aber hier erhalt ich ja z.B. aus der ersten Zeile:

a_{1} * s_{1} + a_{2} * s_{2} + . . . + a_{n} * s_{n} = 0

. Aus der Aufgabe weiß ich, dass

a_{1}

ungleich null sein muss. Daher können nicht alle a's null sein und damit die Summe null machen. Aber wie mach ich hier weiter?

2. Für

λ = - (a_{1} + . . . a_{n})

A - λ E = (\begin{array}{rcl} - (a_{2} + . . . + a_{n}) & a_{2} & a_{3} & . . . & a_{n} \\ a_{1} & - (a_{1} + . . . + a_{n}) & a_{3} & . . . & a_{n} \\ . . . & . . . & . . . & . . . & . . . \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & . . . & - (a_{1} + . . a_{n - 1}) \end{array})

, also praktisch die Matrix A, aber in der Diagonale hat sich was geändert. Hier würde die erste Zeile mit der Eigenvektor-Berechnungsformel so aussehen:

- (a_{2} + . . . a_{n}) * t_{1} - (a_{1} + a_{3} . . . + a_{n}) * t_{2} + . . . - (a_{1} + . . . + a_{n - 1}) * t_{n} = 0

. Auch hier weiß ich nicht, wie ich auf einen Eigenvektor kommen soll.

Lyla93 aktiv_icon

14:26 Uhr, 24.11.2014

Jemand eine Idee zu den Eigenvektoren? Ich schaff es nicht mal die für n=3 zu berechnen, bräuchte hier Hilfe!

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