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Bestimmung Gradient

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Differentiation

Funktionalanalysis

Tags: Differentiation, Funktionalanalysis, Gradient, Partielle Ableitung, Partielle Differentiation

Emilia200498 aktiv_icon

23:09 Uhr, 23.04.2018

Hallo ihr Lieben,

es geht um folgendes Problem in Form einer Aufgabe:

Sei

a \in ℝ^{n}

gegeben. Für beliebige

x, y \in ℝ^{n}

ist

< x, y >

das Standardskalarprodukt und

| | x | | = \sqrt{< x, x >}

die Norm. Bestimmen Sie den Gradienten.

(1)

f (x) = < x, a >

und

g (x) = {(< x, a >)}^{2}

für

x \in ℝ^{n}

(2)

f (x) = \frac{1}{{| | x | |}^{2}}

für

x \in ℝ^{n} \ {0}

Leider weiß ich nicht wirklich wie ich dabei Anfangen soll, da es ja sehr allgemein gehalten ist.
Ich würde es gerne nachvollziehen können, und hoffe sehr um Hilfe.

Danke und liebe Grüße.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

23:53 Uhr, 23.04.2018

Hallo
wieso allgemein? du kennst doch wohl das Standardskalarprodukt in

ℝ^{n}

f (x) = < x, a \geq \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot a_{i}

davon grad zu bilden ist sehr einfach, mit Ketten regel dann auch gradg(x)
Und

2)

sollte dir auch nicht schwer fallen sons machs erst für

ℝ^{2}

also

f (x) = {(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}^{- 1}

ableiten , wo liegt das Problem.
selbst wenn man was ncht gleich im

ℝ^{n}

sieht faängt man halt mal inm

ℝ^{2}

an.
Gruß ledum

Emilia200498 aktiv_icon

09:40 Uhr, 24.04.2018

Erstmal danke für die Antwort,
ich glaube mein Problem ist ein bisschen das Summenzeichen. Ich weiß ja nicht, wie viele Komponenten mein

x

hat und da bin ich jetzt zu doof dass allgemein zu formulieren..

Und a ist ja fest, das behandel ich doch normal wie eine Konstante oder?

Und ich müsste ja nach jeder Komponente ableiten, also die partiellen Ableitungen ermitteln.. wenn ich jetzt vorher das Skalarprodukt ermitteln muss bekomme ich ja eine Summe aus a Werten und mehreren Veränderlichen

(x 1, x 2, ...)

Muss ich dann normal partiell Integrieren? Ich glaube ich habe es nicht so verstanden wie ich das im

ℝ^{n}

machen muss..

Danke für die Hilfe und LG

ledum aktiv_icon

12:16 Uhr, 24.04.2018

Hallo
hast du den grad denn mal für

n = 2,3,4

hingeschrieben, oder die Summe mit Pünktchen statt Summenzeichen, dann kannst du das sicher, indem du die Vektoren

a, x,

und das skalarprodukt verwendest.
Man muss eben einfach mal anfangen!
Gruß ledum

Emilia200498 aktiv_icon

13:00 Uhr, 24.04.2018

Okay, angenommen

n = 1,

dann leitet man nur

a \cdot x 1

ab und das ist

a

. Nach a muss man ja nicht ableiten, da es eine konstante ist, die vorgegeben ist.
Wenn

n = 2

besteht die summe aus zwei produkten.

a 1 \cdot x 1 + a 2 \cdot x 2

nach

x 1

abgeleitet ergibt es

a 1

und nach

x 2

abgeleitet

a 2

. Die partiellen Ableitungen wären also

(a 1, a 2)

.
So geht es weiter für

n

beliebig.
Ist der ansatz dazu richtig? Oder bin ich auf dem falschen weg?

Bei

g

wäre es dann ähnlich, nur das die gesamte summe noch quadriert wird, also die

x

Komponente nicht wegfällt, oder?

Danke für die mühe und LG

ledum aktiv_icon

16:58 Uhr, 25.04.2018

Hallo
Ich hoffe, du siehst,das der grad einfach der Vektor a ist, bei

g

besser Kettenregel, dann ist es auch

s

hr einfach von 2 auf

n

zu schließen
Gruß ledum

Emilia200498 aktiv_icon

13:31 Uhr, 26.04.2018

Ja, vielen Dank für die Hilfe. Ich denke ich konnte von

n = 1,2,3, .

. relativ gut auf eine allgemeine Aussage schließen, habe mich zu sehr von dem Summenzeichen verwirren lassen.

Danke und LG :-)

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