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Bestimmung der Galoisgruppe eines Polynoms

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: polynom

Drumbene91 aktiv_icon

14:22 Uhr, 20.10.2020

Hallo zusammen, ich beschäftige mich momentan mit folgender Aufgabe, aber meine Lösung kommt mir komisch vor, vielleicht sieht jemand von euch, ob und wo ich einen Denkfehler habe.
Sei

f = t^{4} - 2 t^{3} + 2 t - 4 \in ℚ [t]

und sei

L := Z F K_{ℚ} (f)

a. Wieviele Körperhomomorphismen

L \to ℂ

gibt es ?

b. Bestimme die Galoisgruppe von

L / ℚ

.

Mein Ansatz:
a.: Wir wissen, dass für eine endliche Körpererweiterung L//K gilt:
Sei M//L eine Körpererweiterung, dann gibt es höchstens

∣ L : K ∣

Körpermonomorphismen \phi von L-> M mit \phi eingeschränkt auf K gleich der Identität auf K. DA Körperhomomorphismen immer injektiv sind und den Primkörper (hier Q) invariant lassen, folgt die Behauptung aus der Berechnung des Grades von L//Q, die ich in b gemacht habe.

b.:Ich habe zunächst versucht, die Nullstellen von f zu bestimmen, die erste Nullstelle

λ_{1} = 2

habe ich geraten. Danach folgte mit Polynomdivision

f = (t - 2) (t^{3} + 2)

Für den zweiten Faktor erhalte ich als Nullstellen:

λ_{2} = \sqrt[3]{- 2}, λ_{3} = \sqrt[3]{- 2} ξ_{3}, λ_{4} = \sqrt[3]{- 2} ξ_{3}^{2}

Damit erhalte ich mit der Gradformel:

∣ L : ℚ ∣ = ∣ ℚ (\sqrt[3]{- 2}) : ℚ (ξ_{3}) ∣ ∣ ℚ (ξ_{3}) : ℚ ∣ = 6

Nun wissen wir, dass wir die Galoisgruppe einer KE L//K, wenn L Zerfällungskörper eines Polynoms f aus K[t] als Untergruppe der S_deg(n) auffassen können, damit erhalte ich hier:

G a l (L / / ℚ) ≅ S_{3}

Wo habe ich einen Fehler?
LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

michaL aktiv_icon

16:16 Uhr, 20.10.2020

Hallo,

auch ich erhalte

t^{4} - 2 t^{3} + 2 t - 4 = t^{3} (t - 2) + 2 (t - 2) = (t - 2) (t^{3} - 2)

.

Es gilt damit:

{ZFK}_{ℚ} (f) = {ZFK}_{ℚ} (t^{3} + 2) = ℚ [i \sqrt{3}, \sqrt[3]{2}]

, da die Lösungen von

t^{3} = - 2

gerade

- \sqrt[3]{2}

und

\sqrt[3]{2} (\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})

bzw.

\sqrt[3]{2} (\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})

sind.

Mir ist nun noch nicht klar, was genau deine Frage ist?!

Ich erhalte auch, dass die Galoisgruppe isomorph zur kompletten

S_{3}

ist.

Mfg Michael

Drumbene91 aktiv_icon

17:11 Uhr, 20.10.2020

Hallo, danke für deine Antwort, kannst du mir sagen, wie du auf die Nullstellen gekommen bist? LG

michaL aktiv_icon

17:40 Uhr, 20.10.2020

Hallo,

zuerst fällt mir ein Tippfehler bei meinem letzten posting auf:

t^{4} - 2 t^{3} + 2 t - 4 = (t - 2) (t^{3} + 2)

Es geht dir also um die Nullstellen von

t^{3} + 2 = t^{3} - (- 2)

t^{3} - a^{3} = (t - a) (t^{2} + a t + a^{2})

kannst du sofort durch Ausmultiplizieren nachrechnen.

Nun setze für

a := - \sqrt[3]{2}

, sodass du noch

t^{2} - \sqrt[3]{2} t + \sqrt[3]{4} = 0

zu lösen hast:

t_{2; 3} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{\sqrt[3]{4}}{4} - \sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{- 3 \sqrt[3]{4}}{4}} = \frac{\sqrt[3]{2} (1 \pm \sqrt{- 3})}{2}

Reicht das als Erläuterung?

Ansonstenn geht es vielleicht kürzer wie folgt:

x^{n} - a

hat die

n

Wurzeln

\sqrt[n]{a} \cdot ζ_{n}^{k}

(

k \in {0; 1; \dots; n - 1}

), wobei

ζ_{n}

eine primitive

n

-te Einheitswurzel sei. (Hast du es nicht selbst so aufgeschrieben?)

In diesem Falle (

n = 3

a = - 2

ζ_{3} = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}

).

Mfg Michael

Drumbene91 aktiv_icon

09:49 Uhr, 21.10.2020

Hallo, ah jetzt verstehe ich, ich hatte mich an der Darstellung der Einheitswurzel etwas gestört, aber dann passt es :-)
Ich danke dir!
LG

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