|
---|
Hallo zusammen, ich beschäftige mich momentan mit folgender Aufgabe, aber meine Lösung kommt mir komisch vor, vielleicht sieht jemand von euch, ob und wo ich einen Denkfehler habe. Sei und sei a. Wieviele Körperhomomorphismen gibt es ? b. Bestimme die Galoisgruppe von . Mein Ansatz: a.: Wir wissen, dass für eine endliche Körpererweiterung L//K gilt: Sei M//L eine Körpererweiterung, dann gibt es höchstens Körpermonomorphismen \phi von L-> M mit \phi eingeschränkt auf K gleich der Identität auf K. DA Körperhomomorphismen immer injektiv sind und den Primkörper (hier Q) invariant lassen, folgt die Behauptung aus der Berechnung des Grades von L//Q, die ich in b gemacht habe. b.:Ich habe zunächst versucht, die Nullstellen von f zu bestimmen, die erste Nullstelle habe ich geraten. Danach folgte mit Polynomdivision Für den zweiten Faktor erhalte ich als Nullstellen: Damit erhalte ich mit der Gradformel: Nun wissen wir, dass wir die Galoisgruppe einer KE L//K, wenn L Zerfällungskörper eines Polynoms f aus K[t] als Untergruppe der S_deg(n) auffassen können, damit erhalte ich hier: Wo habe ich einen Fehler? LG Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
|
Hallo, auch ich erhalte . Es gilt damit: , da die Lösungen von gerade und bzw. sind. Mir ist nun noch nicht klar, was genau deine Frage ist?! Ich erhalte auch, dass die Galoisgruppe isomorph zur kompletten ist. Mfg Michael |
|
Hallo, danke für deine Antwort, kannst du mir sagen, wie du auf die Nullstellen gekommen bist? LG |
|
Hallo, zuerst fällt mir ein Tippfehler bei meinem letzten posting auf: Es geht dir also um die Nullstellen von . kannst du sofort durch Ausmultiplizieren nachrechnen. Nun setze für , sodass du noch zu lösen hast: Reicht das als Erläuterung? Ansonstenn geht es vielleicht kürzer wie folgt: hat die Wurzeln (), wobei eine primitive -te Einheitswurzel sei. (Hast du es nicht selbst so aufgeschrieben?) In diesem Falle (, , ). Mfg Michael |
|
Hallo, ah jetzt verstehe ich, ich hatte mich an der Darstellung der Einheitswurzel etwas gestört, aber dann passt es :-) Ich danke dir! LG |