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Bestimmung der Matrix L

Universität / Fachhochschule

Tags: Matrix

mathema1222 aktiv_icon

08:25 Uhr, 19.08.2019

Gegeben ist die Matrix:

A = (\begin{matrix} - 2 & 4 & 5 \\ 2 & - 4 & - 6 \\ 1 & - 1 & 3 \end{matrix})

Wie lautet die zugehörige

L

Matrix.

Als Ergebnis komme ich auf

L = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0.5 & 0 & 1 \end{matrix})

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

ermanus aktiv_icon

11:04 Uhr, 19.08.2019

Hallo,
du sprichst vermutlich über die sogenannte LR-Zerlegung deiner Matrix

A

.
Wie du vielleicht gemerkt hast, fehlt dir beim letzten Gauss-Schritt
das Pivot-Element

\neq 0

. Daher kannst du

A

auf diese Weise nicht
LR-zerlegen, sondern musst am besten anfangs eine Zeilenvertauschung vornehmen.
Am einfachsten vielleicht Zeile 1 und Zeile 3 vertauschen. Für die so entstandene
Matrix

B

funktioniert dann die LR-Zerlegung.
Bisweilen muss man eben eine Permutationsmatrix vorschalten ...
Gruß ermsnus

mathema1222 aktiv_icon

11:25 Uhr, 19.08.2019

ok und wie würde das Ergebnis lauten...

ermanus aktiv_icon

11:27 Uhr, 19.08.2019

Das kannst du doch erst einmal selbst berechnen und dann schau ich es mir an ...

mathema1222 aktiv_icon

11:46 Uhr, 19.08.2019

L = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix})

ermanus aktiv_icon

11:55 Uhr, 19.08.2019

Gehört dies

L

zu der Matrix

B = (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 0 \\ 2 & - 4 & - 6 \\ - 2 & 4 & 5 \end{array})

?

Ich habe nämlich für dieses

B

heraus:

B = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ - 2 & - 1 & 1 \end{array})

.

Was passiert denn, wenn du mit deinem

L

und

R

das Produkt

L R

bildest ?

mathema1222 aktiv_icon

12:03 Uhr, 19.08.2019

also ich habe die Matrix mit Multiplikation der Permutationsmatrix auf diese Form gebracht

(\begin{matrix} 1 & - 1 & 3 \\ - 2 & 4 & 5 \\ 2 & - 4 & - 6 \end{matrix})

Dann auf die dritte Zeile die zweite Zeile addiert

(\begin{matrix} 1 & - 1 & 3 \\ - 2 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix})

Daraus folgt für die

L

Matrix, da 1mal die zweite Zeile auf die dritte addiert wurde kommen unten links 1 hin, also

L = (\begin{matrix} 1,0,0 \\ 0,1,0 \\ 1,1,1 \end{matrix})

dann von von der zweiten zeile wird zweimal die erste zeile addiert, also

(\begin{matrix} 1 & - 1 & 3 \\ 0 & 2 & 11 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix})

. daraus folgt für die

L

Matrix

L = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix})

mathema1222 aktiv_icon

12:03 Uhr, 19.08.2019

Ja das gehört zur

L

Matrix Bezeichnung

L = . .

ermanus aktiv_icon

12:34 Uhr, 19.08.2019

Du weichst vom LR-Algorithmus in zweierlei Hinsicht ab. Die Gauss-Schritte
müssen in einer ganz bestimmten Reihenfolge durchgeführt werden, so dass
zuerst die erste Spalte ab Zeile 2 von oben nach unten "genullt" wird,
dann die zweite Spalte ab Zeile 3 von oben nach unten "genullt", usw.
Also
1. das 2-fache der 1. Zeile zur 2. Zeile addieren und diese Handlung mit -1
multipliziert in

L

eintragen:

L_{21} = - 2

2. das 2-fache der 1. Zeile von der 3. Zeile abziehen und diese Handlung mit
-1 multipliziert in

L

eintragen:

L_{31} = + 2

3. das 1-fache der 2. Zeile zur 3. Zeile addieren und dies mit -1
multipliziert in

L

eintragen:

L_{32} = - 1

.

Nun bekommst du

L = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 \\ 2 & - 1 & 1 \end{array})

.

Du hast deine "Handlungen" also auch mit falschem Vorzeichen eingetragen.

Jetzt müsste

L R = B

sein.

mathema1222 aktiv_icon

13:16 Uhr, 19.08.2019

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ - 2 & 1 & 1 \end{matrix})

Ist das nicht das richtige Ergebnis

ermanus aktiv_icon

13:20 Uhr, 19.08.2019

Nein. Das ist ja das Gemeine an der Sache, dass diese
"Handlungen" mit -1 multipliziert werden müssen.
Du hast ja nun sicher auch das richtige

R

berechnet
und kannst somit zur Kontrolle

L R

ausrechnen und schauen, ob
dabei die zu zerlegende Matrix entsteht.

mathema1222 aktiv_icon

13:39 Uhr, 19.08.2019

Wie führt man allgemein Pivotisierung durch?

ermanus aktiv_icon

13:52 Uhr, 19.08.2019

Das kann ich dir leider nicht sagen. Das ist ja eher eine Frage
der Stabilität eines Algorithmus. Leider bin ich kein
Numeriker und kenne mich da nicht aus ...

mathema1222 aktiv_icon

11:16 Uhr, 04.09.2019

nochmal ne kleine Frage bezüglich der Schritte der Gauss-Elimination. Zuerst wird von der ersten Spalte ab Zeile 2 von oben nach unten genullt, also

L_{21} L_{31}

und dann

L_{41}

berechnet,

dann wird von der zweiten Spalte von unten nach oben genullt, also zuerst

L_{42},

dann

L_{32},

danach

und dann von der dritten Spalte

L_{43}

eine null erzeugt

ermanus aktiv_icon

11:36 Uhr, 04.09.2019

Das verstehe ich nicht, es wird hier immer von oben nach unten
"genullt". Hast du ein Bild dazu?
Gruß ermanus

mathema1222 aktiv_icon

11:39 Uhr, 04.09.2019

das ist nochmal die Rückfrage von 12:34Uhr. Nehmen wir als Beispiel an wir sollen eine

4 X 4 L

Matrix bestimmen. Wie ist die Reihenfolge der Gauss Schritte?

ermanus aktiv_icon

11:46 Uhr, 04.09.2019

Also:
1. Von oben nach unten:

L_{21}, L_{31}, L_{41}

,
dann 2. von oben nach unten:

L_{32}, L_{42}

,
dann 3.

L_{43}

Gruß ermanus

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