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Bestimmung der kleinsten Ordnungsrelation

Universität / Fachhochschule

Graphentheorie

Tags: Graphentheorie, Ordnungsrelation, Relation.

anonymous

22:44 Uhr, 01.02.2019

Menge

M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

mit
Relation

R = {(x, y) ∣ x \equiv 3 (m o d y)}

a) R als Menge konkreter Paare.
b) Bestimmen Sie die kleinste Ordnungsrelation T, die R enthält, und zeichnen
Sie ein Ordnungsdiagramm von T.

zu a)

R = {(3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8)}

zu b)

zu herstellen der Reflexivität würde ich hinzufügen:

{(1, 1), (2, 2), . . ., (8, 8)}

Antisymmetrie: besteht meines Erachtens bereits

Transistivität: besteht auch

also wäre dann

T = {(3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8)} ⋃ {(1, 1), (2, 2), . . ., (8, 8)}

.

Das Diagramm würde dann aber ziemlich komisch aussehen, weshalb ich denke dass ich einen Fehler gemacht habe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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23:54 Uhr, 01.02.2019

Hallo,
dein

R

ist ganz sicher falsch.
z.B. ist

x - 3

für jede ganze Zahl

x

durch

1

teilbar, also
für jedes

x \in M

gilt

x \equiv 3

mod

1

, also

(x, 1) \in R

...

anonymous

00:11 Uhr, 02.02.2019

Die Schreibweise der Relation ist etwas verwirrend, mann könnte auch schreiben

R = {(x, y) \in M \times M : x \equiv 3 (m o d y)}

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01:14 Uhr, 02.02.2019

Klar! Aber das ändert ja nichts an meiner Aussage.

1

ist nun mal ein Teiler jeder ganzen Zahl, also
teilt

1

auch

x - 3

, ganz egal welche ganze Zahl

x

ist,
also ist

(x, 1) \in R

für alle

x \in M

,
ebenso auch

(5, 2) \in R

, da

5 \equiv 3

mod

2

ist ...

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10:01 Uhr, 02.02.2019

Hallo, ist das wirklich die Originalaufgabenstellung?

R

ist nämlich nicht antisymmetrisch:

1 \equiv 3

mod

2

und

2 \equiv 3

mod

1

,
also

(1, 2), (2, 1) \in R

, aber

1 \neq 2

anonymous

10:06 Uhr, 02.02.2019

ja ok, mach ja auch Sinn.

R = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1), (7, 1), (8, 1), (1, 2), (3, 2), (5, 2), (7, 2), (3, 3), (6, 3), (3, 4), (7, 4), (3, 5), (8, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8)}

ich hoffe ich habe alle erwischt.

Reflexivität:

R ⋃ {(2, 2), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8)}

Antisymmetrie: hier bin ich etwas verunsichert. Was passiert z.B. mit den Punkten

(1, 2)

und

(2, 1)

? Nach der Antisymmetrie gilt ja dann:

1 = 2

. Aber was bedeuted das für meine Menge?

Transitvität:

R ⋃ {(4, 2), (6, 2), (8, 2), (6, 4), (6, 5), (6, 7), (6, 8)}

Hier die Paare die ich für die Transitivität verglichen habe, ist evtl. einfacher nachzuvollziehen.

(4,1)(1,2)
(6,1)(1,2)
(8,1)(1,2)
(6,3)(3,2)
(6,3)(3,4)
(6,3)(3,5)
(6,3)(3,5)
(6,3)(3,7)
(6,3)(3,8)
(8,5)(5,2)

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10:19 Uhr, 02.02.2019

Hallo,
habe das gleiche

R

wie du raus.

R

kann nicht Teilmenge einer Ordnungsrelation sein, da es nicht antisymmetrisch ist.
Die vorgegebene Menge können wir nicht uminterpretieren, die ist fest vorgegeben.
Also entweder ist die Aufgabe falsch oder lautet irgendwie anders.
Bin nun für heute leider offline.
Gruß ermanus

anonymous

11:12 Uhr, 02.02.2019

Danke für die Hilfe.
Ich habe nochmal geschaut und die Aufgabe steht genau so auf dem Übungsblatt. Aber naja, es gibt da eine schönere Klausuraufgabe, welche fast gleich ist.

A = {0, 1, 3, 5, 7, 8}

mit folgender Relation:

R = {(m, n) \in A \times A ∣ m \equiv n + 1 (m o d 5)}

a) R als Menge konkreter Paare
b) Welche der Eigenschaften reflexiv, symmetrisch, transitiv hat R, welche nicht?
c) Bestimmen Sie die kleinste Ordnungsrelation T, die R enthält, und zeichnen Sie das Hassediagramm.

a)

R = {(1, 0), (1, 5), (3, 7), (7, 1)}

b)

reflexiv: nein, da z.B. nicht gilt

1 \sim 1

symmetrisch: nein, da z.B.

1 \sim 0

, aber nicht

0 \sim 1

transitiv: nein, da z.B

7 \sim 1

und

1 \sim 0

und daraus nicht folgt

7 \sim 0

c)

reflexiv:

T_{1} = {(0, 0), (1, 1), (3, 3), (5, 5), (7, 7), (8, 8)}

antisymmetrisch: folgt aus a)
transitivität:

T_{2} = {(3, 1), (7, 0), (7, 5)}

oder muss ich auch noch die Kanten (3,0) und (3,5) hinzufügen?

T = R ⋃ T_{1} ⋃ T_{2}

Die Frage ist, wie zeichne ich jetzt am besten das Diagramm.

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