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Bestimmung der linearen Differentialgleichung 2.O.

Schüler

Tags: Funktion

 
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stinlein

stinlein aktiv_icon

14:16 Uhr, 16.04.2018

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Die Aufgabe lautet:
Bestimme die homogenen linearen DGLen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten, die folgende Funktionen als allgemeine Lösung haben:
3d)xH=ce2x+c2e2x
Ich habe einmal so begonnen:
x1x2=22
p=-22
q=x1x2=2
Gleichung aufstellen: x2+ px +q=λ2-22λ+2=0
y''-22y'+2y=0

Das Ergebnis sollte aber sein: y'-2y=0 (nur 1. Ordnung)

3f)yH=c1ex3sin(2x)+c2ex3cos(2x)
Diese Aufgabe geht leider nicht nach meinem vorigen Schema, oder?
Hier weiß ich nicht, wie ich beginnen soll!
Danke für ein hilfreiches Weiterkommen schon im Voraus!
lg stinlein
PS. Ergebnis sollte sein: 9y''-6y'+37y=0





Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
DrBoogie

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14:21 Uhr, 16.04.2018

Antworten
3d) angegebene Lösung passt nicht zu der Gleichung, prüf, wo Du Abschreibfehler gemacht hast

3f) die Lösung entspricht λ=1/3±2i, von den Lambdas kannst Du leicht die Gleichung rekonstruieren
Antwort
DrBoogie

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14:23 Uhr, 16.04.2018

Antworten
ce2x+c2e2x ist dasselbe wie ce2x, das ist nur eine billige Falle.
stinlein

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14:28 Uhr, 16.04.2018

Antworten
Hallo. lieber DrBoogie! Fein, dass ich dich antreffe. Ich freue mich sehr darüber. Entschuldige - ich habe einen Tippfehler drinnen. Bei der ersten Aufgabe habe ich c statt c1 geschrieben.
Es muss also richtig heißen:
3d)yH=c1e2x+c2e2x
Bitte nochmals dafür um Entschuldigung. Bin eben gerade nach Hause gekommen, noch ein wenig durcheinander. Danke dir für den Hinweis ganz herzlich!

lg stinlein
PS: Als Lösung ist angegeben: y'-2y=0 (nur 1. Ordnung!)
Aber du weißt sicher selber besser, dass manche angegebenen Lösungen hin und da auch nicht stimmen.


Antwort
DrBoogie

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14:29 Uhr, 16.04.2018

Antworten
Ob c oder c1, macht keinen Unterschied. Ist eh nur eine beliebige Konstante.
Was ich eben geschrieben habe, bleibt richtig.
stinlein

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14:38 Uhr, 16.04.2018

Antworten
OK- vielen Dank! Wieder etwas dazugelernt.
Also: yH=ce2x
Damit: λ=2
Jetzt muss ich doch die Gleichung aufstellen. Wie gehe ich da vor. Kannst du mir da noch ein bisschen helfen? Bin momentan hilflos!
lg stinlelin

Antwort
DrBoogie

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14:43 Uhr, 16.04.2018

Antworten
Nur ein Lambda bedeutet erste Ordnung. Also yʹ+ay=0. Bleibt nur a zu finden.
stinlein

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14:50 Uhr, 16.04.2018

Antworten
Danke vielmals. Ich hoffe, ich halte dich von deiner Arbeit nicht zu sehr ab.
Muss ich da auch den Satz von Vieta anwenden? Wie sonst finde ich a? (Ich weiß, das ist jetzt eine simple Frage, schäme mich, dass ich das jetzt nicht gleich weiß)
lg stinlein
Antwort
DrBoogie

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14:57 Uhr, 16.04.2018

Antworten
Satz von Vieta hat hier nichts zu suchen.
Einfach löse yʹ+ay=0 und vergleiche die Lösung mit der gegebenen.
stinlein

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15:01 Uhr, 16.04.2018

Antworten
Danke!
y'+ ay =0
a=-y'y
Mir fehlt momentan der Durchblick! Leider!
lg stinlein

Antwort
DrBoogie

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15:11 Uhr, 16.04.2018

Antworten
Sorry, aber das hast Du schon zig mal hier erklärt bekommen, da musst Du selber durch. Kuck die alten Aufgaben durch.
stinlein

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15:20 Uhr, 16.04.2018

Antworten
OK. Trotzdem vielen Dank. Hilfst du mir bitte noch bei der 3f weiter? Hast du noch ein wenig Zeit für mich übrig?
Kann ich hier den Satz von Vieta anwenden? Vermutlich nicht!
DANKE!
lg stinlein
PS. yH=c1ex3sin(2x)+c2ex3cos(2x)
Könntest du mir ganz kurz beschreiben, wie ich da vorgehen muss?


Antwort
DrBoogie

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15:23 Uhr, 16.04.2018

Antworten
Habe ich doch schon geschrieben.
Du musst wissen, wie eine Lösung einer allgemeinen linearen DGL 2. Ordnung aussieht. Und wissen, wann genau diese konkrete Lösung entstehen kann.
Den Link kennst Du schon: www.tm-mathe.de/Themen/html/gewdgllinkon
Versuch mal was selber auf die Beine zu stellen.
stinlein

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15:31 Uhr, 16.04.2018

Antworten
DANKE! Ich bin jetzt ein wenig traurig über deine Antwort, aber es ist eben so!
Trotzdem danke inzwischen. Deinen Hinweis (Internet) habe ich mir schon ausgedruckt - bin aus ihm nicht ganz klug geworden. Mir fehlt da wahrscheinlich die Übung bzw. der Durchblick.
Die anderen Aufgaben konnte ich eben alle mit dem Vieta-Satz lösen, daher tue ich mich jetzt eben einfach schwer!(Umstellung) Grüble weiter!!!
Trotzdem liebe Grüße und noch einen schönen Spätnachmittag
stinlein

Antwort
DrBoogie

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15:34 Uhr, 16.04.2018

Antworten
Du lässt Dir einfach keine Zeit, alles schnell-schnell-schnell. Denke in Ruhe nach. Betrachte die Seite aus dem Link und finde etwas, was wie die vorgegebene Lösung aussieht.
stinlein

stinlein aktiv_icon

16:06 Uhr, 16.04.2018

Antworten
Ich weiß. Leider muss alles schnell gehen, ich habe bis Do noch 25 Übungsaufgaben zu bewältigen. Am Freitag ist Schularbeit uzw. die letzte, die entscheidende!
Trotzdem danke vielmals, dass du mir überhaupt geantwortet hast, rechne ich dir hoch an! Ich weiß, für dich sind diese Re ein Klacks! Ich tue mich so schwer, weil man nach keinem Schema vorgehen kann. Die Übung - zu erkennen - ob die eine oder andere Lösungsmethode angewandt werden muss - habe ich nicht, obwohl - wie du richtig sagst, ich ja schon so viel Hilfe erhalten habe und selber auch gerechnet habe!
lg stinlein


Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

16:20 Uhr, 16.04.2018

Antworten
Schema ist doch klar.
Du hast eine lineare homogene DGL mit konstanten Koeffizienten.
Sie hat im allgemeinen Fall die Lösung c1eλ1x+...+cneλnx+cn+1eλn+1xcos(μn+1x)+cn+2eλn+1xsin(μn+1x)+..., wo λ1 bis λn reelle Nullstellen von char. Polynom sind und λn+1+iμn+1 usw. - komplexe.
Jetzt musst Du nur die gegebene Lösung nehmen und das passende Stück der allgemeinen Lösung finden. Somit wirst Du sofort die Nullstellen von char. Polynom kennen und könntest schnell die Gleichung rekonstruieren.

stinlein

stinlein aktiv_icon

16:34 Uhr, 16.04.2018

Antworten
Ich weiß ja, dass a=-2 sein muss. Von der Lösung her, aber ich kapiere nicht, wie man dazu kommt. Leider! Gebe nicht meinen Lehrern die Schuld - mir fehlt hier einfach der Durchblick. So ist es!

Leider haben wir keine vergleichbaren Übungsaufgaben im Übungsheft! Das ist das Traurige an der ganzen Sache. Keiner meiner MitschülerInnen kennt sich aus! Lehrer hat keine Zeit zum Erklären, er muss den Stoff durchbringen! Keine Zeit zum Erklären, traurig!!!

Gibt es im Forum noch jemanden, der einer hilfesuchenden Schülerin bei diesen beiden doch recht schwierigen Aufgaben beistehen kann? Ich würde mich darüber sehr freuen - ich komme einfach alleine nicht weiter (nicht zurecht).

stinlein
Antwort
ledum

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18:35 Uhr, 16.04.2018

Antworten
Hallo
1. Möglichkeit: du hast die Lösung falsch abgeschrieben und sie heisst eigentlich yh=C1e2x+C2e-2x
dann ist λ=±2 und du hast die Dgl y''=2y
2. Möglichkeit, eine Falle: yH=(C1+C2)e2x dann ist C1+C2=c einfach y'=+2y
die dgl solltest du mit dem Ansatz y=eλx oder mit Trennung der Variablen lösen können.
Gruß ledum
stinlein

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19:01 Uhr, 16.04.2018

Antworten
Ganz lieben Dank, ledum. Jetzt bin ich wirklich überfordert. Ich hoffe doch, dass ich richtig abgeschrieben habe. Schicke zwei Bilder (Aufgabenstellung und Ergenisliste)
Bitte, was habe ich da falsch übermittelt. Ich bin heute leider selber ein wenig konfus, wahrscheinlich der Wetterumschwung.
DANKE! DANKE! dafür, dass du mir weiterhilfst.
stinlein

P1220692
P1220693
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

19:58 Uhr, 16.04.2018

Antworten
Du hast richtig abgeschrieben, es ist eine blöde Falle, wie ich oben geschrieben habe.
Es ist am Ende die Lösung y=ce2x. Und die Gleichung dazu ist yʹ-2y=0.
Was ist Dir hier noch nicht klar?
stinlein

stinlein aktiv_icon

20:28 Uhr, 16.04.2018

Antworten
Ganz lieben Dank für die Antwort und die gestellte Frage! Ich bin heute etwas verzagt, weil ich nicht weiterkomme, steckenbleibe - Stillstand!
Weiß nicht warum!?
Gott sei Dank habe ich wenigstens nicht falsch abgeschrieben. Also eine kleine Falle!
Tut mir leid, wenn ich schon wieder die Frage stelle: "Wie komme ich auf a=-2
Du schreibst y'+ ay =0
Wie kommst du auf diese Gleichung, wäre die erste Frage.
Zweite Frage: Wie errechne ich a?

Hatte viele Mal so probiert:
y'+ ay =0
y'y=a
Jetzt integrieren - komme da allerdings zu keinem Ergebnis - wie verhext! würde da ja auf lny kommen!
Das Einzige, was ich bis jetzt sicher weiß: aus yH=ce2xλ1,2=2
DANKE! DANKE!
stinlein


Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

20:51 Uhr, 16.04.2018

Antworten
Zuerst mal haben exakt dasselbe 100 mal integriert:
yʹy=-a => ln(y)=-ax+c0 =>y=e-ax+c0=ce-ax.

Zum anderen brauchst Du das nicht unbedingt, denn Du hast ein ALLGEMEINES Ergebnis.
yʹ+ay=0 hat das charakteristische Polynom λ+a=0 mit der Nullstelle λ=-a, was direkt zu der Lösung ce-ax führt.



stinlein

stinlein aktiv_icon

20:55 Uhr, 16.04.2018

Antworten
Danke! Danke! Danke!
Habe es auf meinem Konzept ja stehen - aber das c0 nicht dazugeschrieben!! Oh je! (+ Konstante!!)
Bin gerade dabei, es nochmals nachzuvollziehen. Melde mich gleich wieder!
Ja, jetzt glaube ich - habe ich es jetzt verstanden. Schließe die Aufgabe gleich ab.
Bitte, bitte, hilfst du mir noch die andere Aufgabe zu lösen. BITTE DICH GANZ HERZLICH UM DIESEN GEFALLEN.
lg stinlein
Frage beantwortet
stinlein

stinlein aktiv_icon

21:10 Uhr, 16.04.2018

Antworten
Danke, eine schlaflose Nacht wäre mir sicher gewesen! Vielen Dank nochmals für die Hilfe von zu Hause aus. Ist ja nicht selbstverständlich. Integriert und ln(y) hatte ich ja erhalten, auch ax, aber dann die Konstante vergessen und nicht mehr weitergerechnet!
Sehr ungeschickt von mir, ich weiß - aber das hoffe ich wird nicht mehr passieren!!!
Du hast mir jetzt wunderbar geholfen. DANKE NOCHMALS DAFÜR!
stinlein