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Bestimmung der linearen Differentialgleichung 2.O.

Schüler

Tags: Funktion

stinlein aktiv_icon

14:16 Uhr, 16.04.2018

Die Aufgabe lautet:
Bestimme die homogenen linearen DGLen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten, die folgende Funktionen als allgemeine Lösung haben:

3 d) x_{H} = c \cdot e^{\sqrt{2} \cdot x} + c_{2} \cdot e^{\sqrt{2} \cdot x}

Ich habe einmal so begonnen:

x_{1} \cdot x_{2} = 2 \cdot \sqrt{2}

p = - 2 \sqrt{2}

q = x_{1} \cdot x_{2} = 2

Gleichung aufstellen:

x^{2} +

+ q = λ^{2} - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot λ + 2 = 0

y'' - 2 \sqrt{2} \cdot y' + 2 y = 0

Das Ergebnis sollte aber sein:

y' - \sqrt{2} \cdot y = 0

(nur 1. Ordnung)

3 f) y_{H} = c_{1} \cdot e^{\frac{x}{3}} sin (2 x) + c_{2} \cdot e^{\frac{x}{3}} \cdot cos (2 x)

Diese Aufgabe geht leider nicht nach meinem vorigen Schema, oder?
Hier weiß ich nicht, wie ich beginnen soll!
Danke für ein hilfreiches Weiterkommen schon im Voraus!
lg stinlein
PS. Ergebnis sollte sein:

9 y'' - 6 y' + 37 y = 0

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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14:21 Uhr, 16.04.2018

3d) angegebene Lösung passt nicht zu der Gleichung, prüf, wo Du Abschreibfehler gemacht hast

3f) die Lösung entspricht

λ = 1 / 3 \pm 2 i

, von den Lambdas kannst Du leicht die Gleichung rekonstruieren

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14:23 Uhr, 16.04.2018

c e^{\sqrt{2} x} + c_{2} e^{\sqrt{2} x}

ist dasselbe wie

c e^{\sqrt{2} x}

, das ist nur eine billige Falle.

stinlein aktiv_icon

14:28 Uhr, 16.04.2018

Hallo. lieber DrBoogie! Fein, dass ich dich antreffe. Ich freue mich sehr darüber. Entschuldige - ich habe einen Tippfehler drinnen. Bei der ersten Aufgabe habe ich

c

statt

c_{1}

geschrieben.
Es muss also richtig heißen:

3 d) y_{H} = c_{1} \cdot e^{\sqrt{2} \cdot x} + c_{2} \cdot e^{\sqrt{2} \cdot x}

Bitte nochmals dafür um Entschuldigung. Bin eben gerade nach Hause gekommen, noch ein wenig durcheinander. Danke dir für den Hinweis ganz herzlich!

lg stinlein
PS: Als Lösung ist angegeben:

y' - \sqrt{2} \cdot y = 0

(nur 1. Ordnung!)
Aber du weißt sicher selber besser, dass manche angegebenen Lösungen hin und da auch nicht stimmen.

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14:29 Uhr, 16.04.2018

c

oder

c_{1}

, macht keinen Unterschied. Ist eh nur eine beliebige Konstante.
Was ich eben geschrieben habe, bleibt richtig.

stinlein aktiv_icon

14:38 Uhr, 16.04.2018

OK- vielen Dank! Wieder etwas dazugelernt.
Also:

y_{H} = c \cdot e^{\sqrt{2} \cdot x}

Damit:

λ = \sqrt{2}

Jetzt muss ich doch die Gleichung aufstellen. Wie gehe ich da vor. Kannst du mir da noch ein bisschen helfen? Bin momentan hilflos!
lg stinlelin

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14:43 Uhr, 16.04.2018

Nur ein Lambda bedeutet erste Ordnung. Also

y^{ʹ} + a y = 0

. Bleibt nur

a

zu finden.

stinlein aktiv_icon

14:50 Uhr, 16.04.2018

Danke vielmals. Ich hoffe, ich halte dich von deiner Arbeit nicht zu sehr ab.
Muss ich da auch den Satz von Vieta anwenden? Wie sonst finde ich a? (Ich weiß, das ist jetzt eine simple Frage, schäme mich, dass ich das jetzt nicht gleich weiß)
lg stinlein

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14:57 Uhr, 16.04.2018

Satz von Vieta hat hier nichts zu suchen.
Einfach löse

y^{ʹ} + a y = 0

und vergleiche die Lösung mit der gegebenen.

stinlein aktiv_icon

15:01 Uhr, 16.04.2018

Danke!

y' +

= 0

a = \frac{- y'}{y}

Mir fehlt momentan der Durchblick! Leider!
lg stinlein

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15:11 Uhr, 16.04.2018

Sorry, aber das hast Du schon zig mal hier erklärt bekommen, da musst Du selber durch. Kuck die alten Aufgaben durch.

stinlein aktiv_icon

15:20 Uhr, 16.04.2018

OK. Trotzdem vielen Dank. Hilfst du mir bitte noch bei der

3 f

weiter? Hast du noch ein wenig Zeit für mich übrig?
Kann ich hier den Satz von Vieta anwenden? Vermutlich nicht!
DANKE!
lg stinlein
PS.

y_{H} = c_{1} \cdot e^{\frac{x}{3}} \cdot sin (2 x) + c_{2} \cdot e^{\frac{x}{3}} \cdot cos (2 x)

Könntest du mir ganz kurz beschreiben, wie ich da vorgehen muss?

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15:23 Uhr, 16.04.2018

Habe ich doch schon geschrieben.
Du musst wissen, wie eine Lösung einer allgemeinen linearen DGL 2. Ordnung aussieht. Und wissen, wann genau diese konkrete Lösung entstehen kann.
Den Link kennst Du schon: www.tm-mathe.de/Themen/html/gewdgllinkon
Versuch mal was selber auf die Beine zu stellen.

stinlein aktiv_icon

15:31 Uhr, 16.04.2018

DANKE! Ich bin jetzt ein wenig traurig über deine Antwort, aber es ist eben so!
Trotzdem danke inzwischen. Deinen Hinweis (Internet) habe ich mir schon ausgedruckt - bin aus ihm nicht ganz klug geworden. Mir fehlt da wahrscheinlich die Übung bzw. der Durchblick.
Die anderen Aufgaben konnte ich eben alle mit dem Vieta-Satz lösen, daher tue ich mich jetzt eben einfach schwer!(Umstellung) Grüble weiter!!!
Trotzdem liebe Grüße und noch einen schönen Spätnachmittag
stinlein

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15:34 Uhr, 16.04.2018

Du lässt Dir einfach keine Zeit, alles schnell-schnell-schnell. Denke in Ruhe nach. Betrachte die Seite aus dem Link und finde etwas, was wie die vorgegebene Lösung aussieht.

stinlein aktiv_icon

16:06 Uhr, 16.04.2018

Ich weiß. Leider muss alles schnell gehen, ich habe bis Do noch

25

Übungsaufgaben zu bewältigen. Am Freitag ist Schularbeit uzw. die letzte, die entscheidende!
Trotzdem danke vielmals, dass du mir überhaupt geantwortet hast, rechne ich dir hoch an! Ich weiß, für dich sind diese Re ein Klacks! Ich tue mich so schwer, weil man nach keinem Schema vorgehen kann. Die Übung - zu erkennen - ob die eine oder andere Lösungsmethode angewandt werden muss - habe ich nicht, obwohl - wie du richtig sagst, ich ja schon so viel Hilfe erhalten habe und selber auch gerechnet habe!
lg stinlein

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16:20 Uhr, 16.04.2018

Schema ist doch klar.
Du hast eine lineare homogene DGL mit konstanten Koeffizienten.
Sie hat im allgemeinen Fall die Lösung

c_{1} e^{λ_{1} x} + . . . + c_{n} e^{λ_{n} x} + c_{n + 1} e^{λ_{n + 1} x} \cos (μ_{n + 1} x) + c_{n + 2} e^{λ_{n + 1} x} \sin (μ_{n + 1} x) + . . .

, wo

λ_{1}

bis

λ_{n}

reelle Nullstellen von char. Polynom sind und

λ_{n + 1} + i μ_{n + 1}

usw. - komplexe.
Jetzt musst Du nur die gegebene Lösung nehmen und das passende Stück der allgemeinen Lösung finden. Somit wirst Du sofort die Nullstellen von char. Polynom kennen und könntest schnell die Gleichung rekonstruieren.

stinlein aktiv_icon

16:34 Uhr, 16.04.2018

Ich weiß ja, dass

a = - \sqrt{2}

sein muss. Von der Lösung her, aber ich kapiere nicht, wie man dazu kommt. Leider! Gebe nicht meinen Lehrern die Schuld - mir fehlt hier einfach der Durchblick. So ist es!

Leider haben wir keine vergleichbaren Übungsaufgaben im Übungsheft! Das ist das Traurige an der ganzen Sache. Keiner meiner MitschülerInnen kennt sich aus! Lehrer hat keine Zeit zum Erklären, er muss den Stoff durchbringen! Keine Zeit zum Erklären, traurig!!!

Gibt es im Forum noch jemanden, der einer hilfesuchenden Schülerin bei diesen beiden doch recht schwierigen Aufgaben beistehen kann? Ich würde mich darüber sehr freuen - ich komme einfach alleine nicht weiter (nicht zurecht).

stinlein

ledum aktiv_icon

18:35 Uhr, 16.04.2018

Hallo
1. Möglichkeit: du hast die Lösung falsch abgeschrieben und sie heisst eigentlich

y_{h} = C_{1} \cdot e^{\sqrt{2} \cdot x + C_{2} \cdot e^{- \sqrt{2} \cdot x}}

dann ist

λ = \pm \sqrt{2}

und du hast die Dgl

y'' = 2 \cdot y

2. Möglichkeit, eine Falle:

y_{H} = (C_{1} + C_{2}) \cdot e^{\sqrt{2} \cdot x}

dann ist

C_{1} + C 2 = c

einfach

y' = + \sqrt{2} \cdot y

die dgl solltest du mit dem Ansatz

y = e^{λ \cdot x}

oder mit Trennung der Variablen lösen können.
Gruß ledum

stinlein aktiv_icon

19:01 Uhr, 16.04.2018

Ganz lieben Dank, ledum. Jetzt bin ich wirklich überfordert. Ich hoffe doch, dass ich richtig abgeschrieben habe. Schicke zwei Bilder (Aufgabenstellung und Ergenisliste)
Bitte, was habe ich da falsch übermittelt. Ich bin heute leider selber ein wenig konfus, wahrscheinlich der Wetterumschwung.
DANKE! DANKE! dafür, dass du mir weiterhilfst.
stinlein

DrBoogie aktiv_icon

19:58 Uhr, 16.04.2018

Du hast richtig abgeschrieben, es ist eine blöde Falle, wie ich oben geschrieben habe.
Es ist am Ende die Lösung

y = c e^{\sqrt{2} x}

. Und die Gleichung dazu ist

y^{ʹ} - \sqrt{2} y = 0

.
Was ist Dir hier noch nicht klar?

stinlein aktiv_icon

20:28 Uhr, 16.04.2018

Ganz lieben Dank für die Antwort und die gestellte Frage! Ich bin heute etwas verzagt, weil ich nicht weiterkomme, steckenbleibe - Stillstand!
Weiß nicht warum!?
Gott sei Dank habe ich wenigstens nicht falsch abgeschrieben. Also eine kleine Falle!
Tut mir leid, wenn ich schon wieder die Frage stelle: "Wie komme ich auf

a = - \sqrt{2}

Du schreibst

y' +

= 0

Wie kommst du auf diese Gleichung, wäre die erste Frage.
Zweite Frage: Wie errechne ich a?

Hatte viele Mal so probiert:

y' +

= 0

\frac{y'}{y} = a

Jetzt integrieren - komme da allerdings zu keinem Ergebnis - wie verhext! würde da ja auf

ln y

kommen!
Das Einzige, was ich bis jetzt sicher weiß: aus

y_{H} = c \cdot e^{\sqrt{2} \cdot x} \Rightarrow λ_{1,2} = \sqrt{2}

DANKE! DANKE!
stinlein

DrBoogie aktiv_icon

20:51 Uhr, 16.04.2018

Zuerst mal haben exakt dasselbe 100 mal integriert:

\frac{y^{ʹ}}{y} = - a

\ln (y) = - a x + c_{0}

y = e^{- a x + c_{0}} = c e^{- a x}

.

Zum anderen brauchst Du das nicht unbedingt, denn Du hast ein ALLGEMEINES Ergebnis.

y^{ʹ} + a y = 0

hat das charakteristische Polynom

λ + a = 0

mit der Nullstelle

λ = - a

, was direkt zu der Lösung

c e^{- a x}

führt.

stinlein aktiv_icon

20:55 Uhr, 16.04.2018

Danke! Danke! Danke!
Habe es auf meinem Konzept ja stehen - aber das

c_{0}

nicht dazugeschrieben!! Oh je!

(+

Konstante!!)
Bin gerade dabei, es nochmals nachzuvollziehen. Melde mich gleich wieder!
Ja, jetzt glaube ich - habe ich es jetzt verstanden. Schließe die Aufgabe gleich ab.
Bitte, bitte, hilfst du mir noch die andere Aufgabe zu lösen. BITTE DICH GANZ HERZLICH UM DIESEN GEFALLEN.
lg stinlein

stinlein aktiv_icon

21:10 Uhr, 16.04.2018

Danke, eine schlaflose Nacht wäre mir sicher gewesen! Vielen Dank nochmals für die Hilfe von zu Hause aus. Ist ja nicht selbstverständlich. Integriert und

ln (y)

hatte ich ja erhalten, auch ax, aber dann die Konstante vergessen und nicht mehr weitergerechnet!
Sehr ungeschickt von mir, ich weiß - aber das hoffe ich wird nicht mehr passieren!!!
Du hast mir jetzt wunderbar geholfen. DANKE NOCHMALS DAFÜR!
stinlein

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