Bestimmung einer Treppenfunktion

Hallo zusammen,

ich möchte eine Aufgabe zur Bestimmung einer Treppenfunktion lösen. Dafür fehlen mir allerdings die Ansätze. Muss ich zunächst das Ober- und Unterintegral berechnen? Und wenn ja, wie genau gehe ich dabei vor?

Ein Teil meiner Aufgabe lautet:

Für n ${\displaystyle \in }$IN sei die Folgende Treppenfunktion φn ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathrm{\tau <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ [0,1] definiert

φn (x)= $$\begin{gathered} {\displaystyle \{0,\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}0\le \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}<1-\frac{1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}} \\ \{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}1-\frac{1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\le \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}<1 \\ \{0,\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1.} \end{gathered}$$

(Ich weiß leider noch nicht, wie ich die große Klammer setzen kann, deshalb habe ich drei draus gemacht.)

Bestimmen Sie für jedes n${\displaystyle \in }$IN ${\displaystyle {\int }_0^1\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{.}}$

Es wäre schön, wenn jemand versuchen könnte mir Hilfe bei den Ansätzen zu geben, da ich versuchen möchte, die Aufgabe weitestgehend selbst zu lösen. Falls ich dann wieder Fragen habe, würde ich mich wieder bei euch melden.

Hierbei handelt es sich um den ersten Teil einer Teilaufgabe. Der Zweite heißt:

Bestimmen Sie für jedes x${\displaystyle \in }$[0,1] ${\displaystyle \underset{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ ${\displaystyle \mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$(x).

Ich hoffe, das beantwortet deine Frage.

Wie soll ich bei dem ersten Aufgabenteil vorgehen?

Erst einmal danke hagman, für deine Hilfe.

Jetzt habe ich allerdings noch eine Frage: Wie heißt die Formel, in die du ${\displaystyle {\int }_0^1{\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace><mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace><mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace><mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace><mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace><mspace\; width="0.12em"></mspace>}=(1-\frac{1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace><mspace\; width="0.12em"></mspace>}})\cdot 0+\frac{1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace><mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace><mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}$ eingesetzt hast?

Das erschließt sich mir noch nicht ganz.

Vielen Dank, hagman, für deine Mühe. Ich denke, dass mir die herangehensweise bei einer Treppenfunktion nun deutlich klarer geworden ist!