 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Bestimmung ganzrationaler Funktionen
Bestimmung ganzrationaler Funktionen
Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Analysis
 
|
anonymous 15:36 Uhr, 28.12.2004  |
|
|---|---|
|
Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion 4ten Grades, deren Graph a)symmetrisch zur y-Achse ist, durch A (0/2) geht und den Tiefpunkt B (1/0) hat b) symmetrisch zur y-Achse ist und in P (2/0) eine Wendetangente mit der Steigung -4/3 hat. |
|
| |
 |
|
|
Eine ganzrationale Funktion 4ten Grades hat allgemein die Form f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e Du mußt nun die Koeffizienten a,b,c,d,e bestimmen, indem du die gegebenen Informationen in mathematische Sprache übersetzt. Versuche mal, die folgenden Fragen zu beantworten: 1) Wann ist einen ganzrationale Funktion symmetrisch zur y-Achse? 2) Wann liegt der Punkt A(0/2) auf der Kurve? 3) Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, dass B(1/0) ein Tiefpunkt ist? Wenn du nicht weiterkommst, dann schreib mal hier rein, wo genau die Probleme sind. Die Aufgabe b) geht analog dazu. |
|
|
|
|
|
Also folgendes: 1)Eine Funktion ist symmetrisch zur y-Achse, wenn gilt : f(-x)=f(x) 2) Der Punkt A(0/2) liegt auf der Kurve wenn, f(x)=y ist , y-Achsenabschnitt Also wenn f(0)= 2 dann ist e = 2 3) Damit B( 1/0) ein Tiefpunkt ist muss f´(x)=0 und f´´(x)>0 Also zu 3) f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e f´(x)= 4ax^3+3^bx^2+cx+d =0 f´´(x)= 12ax^2+6bx+c > 0 Soweit müsste das doch richtig sein, weiß aber nicht wie ich das weiter berechnen muss. Danke im Vorraus Anna |
|
|
|
|
|
Sieht schonmal sehr gut aus. > 1)Eine Funktion ist symmetrisch zur y-Achse, wenn gilt : f(-x)=f(x) Ja, das ist richtig. Umgangssprachlich heißt das auch, dass bei einer ganzrationalen Funktion nur gerade Exponenten bei x stehen. Mit dieser Info vereinfacht sich die Funktion schon enorm. > 2) Der Punkt A(0/2) liegt auf der Kurve wenn, f(x)=y ist , y-Achsenabschnitt > Also wenn f(0)= 2 dann ist e = 2 Ja, das ist richtig und kann für die weitere Rechnung verwendet werden. > 3) Damit B( 1/0) ein Tiefpunkt ist muss f´(x)=0 und f´´(x)>0 Du mußt auch die Information nutzen, dass B ein Tiefpunkt ist (mit Betonung auf B). In dieser Aussage stecken 2 Informationen, die für diese Aufgabe sinnvoll sind. 1) B ist auf der Kurve, also f(1)=0 2) f' hat an der Stelle x=1 eine Nullstelle, d.h. f'(1)=0 Nun solltest du noch 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, die man relativ einfach auflösen kann. |
|
|
|
|
|
Nun ja , so einfach ist das für mich auch wieder nicht :-(! also ich habe: f(1) = 0 f(1) = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e f(1) = a^4+b^3+c^2+d+e f´( 1) = 0 f´(1) = 4a^3+3b^2+2c Und nun, sorry , aber ich hab es immer noch nicht raus :-(! Danke! |
|
|
|
|
|
Langsam, langsam ;-) Verarbeite zunächst mal die Information mit der Symmetrie. Damit wird die Funktion schon erheblich vereinfacht. Hier nochmal meine Aussage von vorhin: > Umgangssprachlich heißt das auch, dass bei einer ganzrationalen Funktion nur > gerade Exponenten bei x stehen. Weißt du, was mit "geraden Exponenten bei x" gemeint ist? Wenn ja, wie kannst du dann die Funktion f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e vereinfachen? Des weiteren hast du ja vorhin schon festgestellt, dass e=2 ist. Das kannst du auch in den weiteren Schritten verwenden. > Nun ja , so einfach ist das für mich auch wieder nicht :-(! Kein Problem. Dafür gibt es hier Hilfe :-) > f(1) = 0 > f(1) = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e > f(1) = a^4+b^3+c^2+d+e Mal abgesehen davon, dass du durch die Symmetrieeigenschaft hier schon eine einfachere Funktion hast, ist die letzte Zeile falsch. Woher nimmst du plötzlich das a^4? Das ^4 bezieht sich nur auf das x bzw. auf den Wert, den du hier für x einsetzt (in diesem Fall ist x=1) Gleiches gilt auch für das Einsetzen in die Ableitung. > Und nun, sorry , aber ich hab es immer noch nicht raus :-(! Dafür braucht sich niemand entschuldigen. Wenn ich mich für alles entschuldigen würde, was ich nicht gut kann, dann hätte ich keine Zeit mehr für andere Dinge *lol* Gruß Tobi, der jetzt erstmal 2 Stunden offline geht ;-) |
|
|
|
|
|
Hallo Tobi, solche Aufgaben sind nix für mich, ich schreibe bald die Arbeit und na ja sieht nicht so gut aus :-(! Also ran an die Arbeit :-)! Also bei der Symmetrie soll es heißen, dass nur gerade Exponenten bei x stehen, also: f(x) = ax^4 + bx^2 + cx + d + e, oder wie soll ich das verstehen, x^3 fällt dann ja weg cx , d und e müsste dann doch auch wegfallen, oder ? Ich werd noch wahnsinnig. Die letzte Zeile von meinem letzten Beitrag müsste heißen: f(x) = a + b + c + d+ e , oder? und die Ableitung f´(x) = 4a + 6b + c + d, oder? Ich bin einfach nicht begabt :-(! Danke im Vorraus Anna |
|
|
|
|
|
Hi Anna, > Also bei der Symmetrie soll es heißen, dass nur gerade Exponenten bei x > stehen, also: f(x) = ax^4 + bx^2 + cx + d + e, oder wie soll ich das > verstehen, x^3 fällt dann ja weg cx , d und e müsste dann doch auch > wegfallen, oder ? Ich werd noch wahnsinnig. Dass das x^3 wegfällt, ist richtig. Allerdings ist cx=cx^1. Das fällt also auch weg, weil 1 ein ungerader Exponent ist. Und warum hast du plötzlich 2 Konstanten am Ende (d+e)? Wenn man alle ungeraden Exponenten entfernt, bleibt nur noch f(x)=ax^4+cx^2+e übrig. Wie man die Koeffizienten nennt, ist egal, ich bleibe aber durchgehend bei den Namen, die ich in meinem ersten Posting vergeben habe und sage b=d=0. Und was mir auch noch einfällt: das e hast du ja weiter oben schon bestimmt. Weißt du noch wie das ging bzw. welchen Wert e hatte? Den kannst du ab hier immer einsetzen! Dass mit der Symmetrie und den "geraden Exponenten" kannst du dir auch verständlich machen, wenn du dir die Definition für "Symmetrie zur y-Achse" anschaust. Die hast du ja schon richtig angegeben: f(-x)=f(x). Was würde passieren, wenn in deiner Funktion noch x^3 vorkommen würde? Und wie sieht eine ganzrationale Funktion 5. Grades aus, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist? OK, das war ein kleiner Exkursion zu symmetrischen Funktionen :-) > Die letzte Zeile von meinem letzten Beitrag müsste heißen: > f(x) = a + b + c + d+ e , oder? Nicht ganz korrekt. Zunächst ist es wichtig, dass du f(1) schreibst, da du für x=1 gesetzt hast! Und da du vorhin eine falsche Funktion hattest, mußt du nochmal in die Funktion von oben einsetzen (siehe ein paar Zeilen drüber) Und da der Punkt B(1/0) gegeben ist, frage ich dich: welchen genauen Wert hat f(1) denn? (Es ist eine konkrete Zahl!) > und die Ableitung > f´(x) = 4a + 6b + c + d, oder? Hier bitte auch f'(1). Und welchen Wert hat f'(1) genau? Wenn du alles richtig gemacht hast, sind in den letzten beiden Gleichungen noch genau 2 Unbekannte drin. Diese mußt du noch ermitteln. Das ist aber das kleinste Problem an dieser Aufgabe. Gruß Tobi |
|
|
|
|
| Hallo, ich verstehe nur Bahnhof! Keine Ahnung wie das geht! | |
|
|
|
|
Das ist leider nicht viel :-( Aber zu deinem Glück ist "Geduld" mein zweiter Vorname ;-) > Aufgabe a) > Bestimmen sie eine ganzrationale Funktion 4. Grades, die symmetrisch zur > y-Achse ist, durch A (0/2) geht und den Tiefpunkt B (1/0) hat Die Informationen müssen nacheinander in mathematische Formeln "übersetzt" werden. Fangen wir also vorne an. Information 1: ganzrationale Funktion 4. Grades Eine solche Funktion hat allgemein die Form f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e Information 2: symmetrisch zur y-Achse Bei ganzrationalen Funktionen, die symmetrisch zur y-Achse sind, kommt x nur mit geraden Potenzen vor. Allgemein hat eine solche Funktion die Form g(x)=z+yx^2+wx^4+vx^6+.....+ax^(2n). Im speziellen Fall dieser Aufgabe bleibt also nur noch f(x)=ax^4+cx^2+e übrig. Ist dir dieser Gedankengang klar? Ab hier verwenden wir also nur noch die vereinfachte Funktion f(x)=ax^4+cx^2+e und bestimmen lediglich noch a,c,e. Information 3: durch A(0/2) geht. Das hast du anfangs schon richtig gemacht. Der Punkt A(0/2) liegt auf der Kurve, das heißt f(0)=2. Oder anders ausgedrückt: du setzt x=0 in die Funktion. f(0) = a*0^4 + c*0^2 + e = 0+0+e= 2 => e=2 Diese Erkenntnis wird ab jetzt auch noch weiterverwendet. Die Funktion hat also nun die Form f(x)=ax^4+cx^2+2 Information 4: den Tiefpunkt B(1/0) hat In dieser Aussage stecken 2 Informationen. Zum einen, dass die Funktion durch den Punkt B(1/0) geht. Zum anderen, dass B(1/0) ein Tiefpunkt ist 4a) Geht durch Punkt B(1/0) Ähnlich wie beim Punkt A gilt hier f(1)=0. Du setzt nun also für x=1 f(1)=a*1^4 + c*1^2 + 2 = a+c+2 = 0 Du erhälst hier die Gleichung a+c+2=0 4b) B(1/0) ist Tiefpunkt Da hier ein Tiefpunkt vorliegt, hat die Kurve im Punkt B eine waagrechte Tangente. Das heißt, dass die erste Ableitung in diesem Punkt null ist. Die erste Ableitung der Funktion f(x)=ax^4+cx^2+e ist f'(x) = 4ax^3 + 2cx Da die Ableitung in x=1 null ist, kannst du in die Ableitung x=1 einsetzen. Daraus ergibt sich f'(1)=4*a*1^3 + 2*c*1 = 4a + 2c = 0 Du erhälst also eine zweite Gleichung 4a+2c=0 Mit Hilfe der beiden letzten Gleichungen kannst du a und c bestimmen. Weißt du, wie das geht? Wenn du Probleme hast, dann sag bitte, an welcher Stelle genau du nicht weiterkommst. Ich schick dir aber trotzdem mal noch eine Mail. Gruß Tobi |
|
anonymous 20:33 Uhr, 26.01.2006 |
|
|
Hallo! Hm...Also woher weiß ich denn nun, ob ich f'(x) oder f''(x) verwenden muss? Also z.B. "Die Parabel dritter Ordnung hat im Punkt o(2/3) eine Wendetangente" ...ist das dann f' oder f'' ? Und wie komm ich dann darauf, wieviel der anstieg ist??? Ich bin verwirrt. Ich hoffe, mal antwortet bald jemand und hilft mir aus der Klemme....wäre echt nett! Danke im Vorraus! |
|
|
|
|
|
Wenn es eine Wendetangente ist , dann benutzt man f'(x) da man die steigung einer tangente immer mit der ersten ableitung bestimmt. wenn es ein wendepunkt oder eine wendestelle ist bestimmt man diese mit f''(x) also immer mit der 2. ableitung der funktion f |
|
anonymous 16:34 Uhr, 06.04.2008 |
|
|
Gib hier Deine Frage ein. Gib am besten Deine bisherigen Lösungsansätze an. Du kannst hier auch Formeln schreiben. Beispiel: (DIESEN TEXT BITTE LÖSCHEN |
|
|
|
|
|
hat mir super geholfen diese erklärung , nur wie gehts weiter um a und zu bestimmen? |
|
|
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
|
966992
441935