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Bestimmung ganzrationaler Funktionen HILFE!!!!!;-/
Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Analysis
 
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anonymous 15:27 Uhr, 01.11.2004  |
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hi! ich brauche ganz dringend bis morgen eine Lösung bzw. den Lösungsweg auf folgende aufgabe,schreibe am mittwoch eine klausur und kann das nicht .. also,dies ist die Aufegabe: Bestimme in den folgenden Aufgaben die gesuchte Funktion: Eine Parabel 3.Ordnung durch P (0/-5) und Q (1/0) berührt die x-Achse in R (5/0) bitte gebt mir eine lösung bin hier grade voll am verzweifeln... liebe grüße *vera |
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anonymous 15:56 Uhr, 01.11.2004 |
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Hallo Vera, ich hoffe ich kann dir helfen... erstens soll dir klar sein,dass wir eine Funktion solche Srt suchen f(x)=ax³+bx² +cx +d die Bed f geht durch (0/-5) f(0)=5 d.h d=5 f geht durch (1/0) f(1)=0 also a+b+c=0 f berührt die x-Achse in R (5/09 denk dran ein berühungspunkt an der x-Achse ist auch glleichzeitig ein Extrem Punkt also f(5)=0 d.h 125a +25b +5c=0 und f`(5)=0 d.h. 75a + 10b+ c=0 3 gleichungen 3 unbekannten ist mit jedem gleichungssystem lösbar... ich hoffe ich könnte dir helfen MFG Rafiq |
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Hallo Vera Kein Grund zum verzweifeln. Soche Aufgaben sind gar nicht schwer! Du musst nur die allegemeine Funktionsgleichung aufstellen, wenn noch etwas mit Steigungen gegeben ist, brauchst du auch die 1. Ableitung, und wenn irgendwo eine Wendetangente vorkommt, auch noch die 2. Ableitung. Ich deiner Aufgabe kommt nirgends eine Wendetangente vor, darum machen wir uns die Mühe mit der 2. Ableitung nicht. Die Steigung kommt aber vor, etwas versteckt. Es heisst nämlich, die Kurve berühre irgendwo die x-Achse. Dort muss die Kurve also horizontal verlaufen, also die 1. Ableitung muss dort 0 sein. Beginnen wir also: Allgemeine Gleichung eines Polynoms 3. Grades: y = ax3 + bx2 + cx + d y' = 3ax2 + 2bx + c Jetzt musst du nur alle Bdingungen eintragen: P(0/-5) liegt auf der Kurve: das heisst, wenn du für x den Wert 0 einträgst, dann muss für y -5 herausschauen: (I) d = -5 Q(1/0) liegt auf der Kurve: das heisst, wenn du für x den Wert 1 einträgst, dann muss für y 0 herausschauen: (II) a + b + c + d = 0 R(5/0) liegt auf der Kurve: das heisst, wenn du für x den Wert 5 einträgst, dann muss für y 0 herausschauen: (III) 125a + 25b + 5c + d = 0 In R(5/0) muss die Kurve horizontal verlaufen. Das heisst, wenn du bei der 1. Ableitung für x den Wert 5 einsetzt, dann muss für y' der Wert 0 entstehen: (IV) 75a + 10b + c = 0 Jetzt hast du 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten, die kannst du auflösen. Die 1. Gleichung liefert schon d = -5, das setze ich gleich in den Gleichunge (II) bis (IV) ein: a + b + c - 5 = 0 125a + 25b + 5c - 5 = 0 75a + 10b + c = 0 (hier gab es nichts einzusetzen) Etwas umgeformt: a + b + c = 5 125a + 25b + 5c = 5 75a + 10b + c = 0 Die 2. gleichung noch durch 5 dividiert: a + b + c = 5 25a + 5b + c = 1 75a + 10b + c = 0 Die 1. Gleichung sagt: c = 5 - a - b Das setze ich in den anderen ein: 25a + 5b + 5 - a - b = 1 75a + 10b + 5 - a - b = 0 Wieder etwas zusammengafasst: 24a + 4b = -4 74a + 9b = -5 Die 1. Gleichung durch 4 dividiert: 6a + b = -1 74a + 9b = -5 Die 1. Gleichung liefert: b = -1-6a Das in der 2. gleichung eingesetzt: 74a -9 -54a = -5 oder 20a = 4 a = 1/5 und jetzt einbach wieder einsetzen. Wir wissen ja (siehe etwas weiter oben): b = -1-6a Somit: b = -11/5 Auch wissen wir: c = 5 - a - b Somit: c = 7 Die gesuchte Funktion ist also: y = 1/5 x3 - 11/5 x2 + 7 x - 5 Wenn du die obigen Angaben einsetzt, wirst du feststellen, dass alles erfüllt ist. Das würde ich immer noch machen, um mögliche Rechenfehler zu finden. Wenn etwas nicht stimmt, musst du nochmals alles nachrechnen! Mit lieben Grüssen Paul |
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HILFE!!!!! Kann mir das mal bitte jemand erklären? Bin grad voll am Verzweifeln... =( Also die Aufgaben: 1.)Eine parabel 3. Ordnung berührt im ursprung die x-Achse. Die Tangente in P(-3/0) ist parallel zur Geraden mit der Gleichung y=6x. 2.) Eine Parabel 4. Ordnung hat im ursprung einen Wendepunkt mit der x-Achse als Wendetangente und in A(-1/-2) einen Tiefpunkt. 3.) Für welche ganzrationale Funktion f vom Grad 3 mit f(0)=-6 ist die Nullstelle x1=3 gleichzeitig Wendestelle mit der Ableitung 5? Also kann mir mal einer sagen, wie man aus solchen Aufgaben überhaupt erstmal die Bedingungen rausbekommt??? Irgendwie raff ich bei dem Thema gar nix und meine Lehrerin macht uns nur runter anstatt was zu erklären... BITTE HELFEN!!! GANZ SCHNELL!!! BITTE PER EMAIL ANTWORTEN! DANKE schonmal im Voraus! LG Nadine |
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anonymous 16:34 Uhr, 07.02.2007 |
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Hallo, eigentlich ist es immer das selbe: - Aufgabe lesen! - Gleichungen aus den Angaben erstellen! - Gleichungssystem lösen! In einigen Spezialfällen weicht man davon ab, wenn man effektiver sein will, aber der Weg funktioniert immer! 1) Eine parabel 3. Ordnung (f(x) = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d ; f'(x) = 3*a*x^2 + 2*b*x + c) berührt im ursprung die x-Achse (f(0) = 0 und f'(0) = 0). Die Tangente in P(-3/0) (f(-3) = 0) ist parallel zur Geraden mit der Gleichung y=6x (f'(-3) = 6) Macht zusammen: f(0) = 0 = a*0^3 + b*0^2 + c*0 + d = 0 + 0 + 0 + d = d --> d = 0 f'(0) = 0 = 3*a*0^2 + 2*b*0 + c = 0 + 0 + c = c --> c = 0 f(-3) = 0 = a*(-3)^3 + b*(-3)^2 + 0*(-3) + 0 = -27*a + 9*b f'(-3) = 6 = 3*a*(-3)^2 + 2*b*(-3) + 0 = 27*a - 6*b Das ergibt das Gleichungssystem: -27*a + 9*b = 0 27*a - 6*b = 6 Beide Gleichungen addiert: 3*b = 6 --> b = 2 Eingesetzt in eine der Gleichungen: 27*a - 6*2 = 6 27*a = 18 a = 2/3 f(x) = 2/3*x^3 + 2*x^2 2) Eine Parabel 4. Ordnung (f(x) = a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d*x + e ; f'(x) = 4*a*x^3 + 3*b*x^2 + 2*c*x + d ; f"(x) = 12*a*x^2 + 6*b*x + 2*c) hat im ursprung (f(0) = 0) einen Wendepunkt (f"(0) = 0) mit der x-Achse als Wendetangente (f'(0)=0) und in A(-1/-2) (f(-1) = -2) einen Tiefpunkt (f'(-1) = 0) und f"(-1) > 0). Macht zusammen (diesmal nur die Kurzfassung): f(0) = 0 --> e = 0 f'(0) = 0 --> d = 0 f"(0) = 0 --> c = 0 f(-1) = -2 = a*(-1)^4 + b*(-1)^3 = a - b f'(-1) = 0 = 4*a*(-1)^3 + 3*b*(-1)^2 = -4*a + 3*b a - b = -2 --> a = b - 2 -4*a + 3*b = 0 -4*(b - 2) + 3*b = 0 -4*b + 8 + 3*b = 0 b = 8 a = 8 - 2 = 6 f(x) = 6*x^4 + 8*x^3 Probe: f"(-1) = 72*(-1)^2 + 48*(-1) = 72 - 48 > 0 3) Für welche ganzrationale Funktion f vom Grad 3 (f(x) = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d ; f'(x) = 3*a*x^2 + 2*b*x + c ; f"(x) = 6*a*x + 2*b) mit f(0)=-6 ist die Nullstelle x1=3 (f(3) = 0) gleichzeitig Wendestelle (f"(3) = 0) mit der Ableitung 5 (f'(3) = 5)? Macht zusammen (Kurzfassung): f(0) = -6 --> d = -6 f(3) = 0 = a*3^3 + b*3^2 + c*3 - 6 = 27*a + 9*b + 3*c - 6 f'(3) = 5 = 3*a*3^2 + 2*b*3 + c = 27*a + 6*b + c f"(3) = 0 = 6*a*3 + 2*b = 18*a + 2*b 27*a + 9*b + 3*c = 6 ; durch 3 teilen 27*a + 6*b + c = 5 18*a + 2*b = 0 ; durch 2 teilen und nach b umstellen 9*a + 3*b + c = 2 27*a + 6*b + c = 5 b = -9*a ; einstzen in die anderen 9*a + 3*(-9*a) + c = 2 --> -18*a + c = 2 ; nach c umstellen: c = 18*a + 2 und unten einsetzen 27*a + 6*(-9*a) + c = 5 --> -27*a + c = 5 -27*a + (18*a + 2) = 5 -9*a = 3 a = -1/3 c = 18*(-1/3) + 2 = -6 + 2 = -4 b = -9*(-1/3) = 3 f(x) = -1/3*x^3 + 3*x^2 - 4*x PS: Bitte nicht alte Threads aufwärmen, sondern einen neuen erzeugen! |
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