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Bestimmung von Fourierkoeffizienten; von |sin(x)|

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Integration

Tags: Folgen und Reihen, Fourierkoeffizient, Fourierreihe, Integration

TidoW aktiv_icon

12:54 Uhr, 09.09.2016

Hallo miteinander,
ich brauche eure hilfe zur Berechnung einer Fourierreihe.
f(x)=e^-(ikx);

g (x) = | sin (x) |

<f(x),g(x)>:=1/(2pi)(Integral)dx

f (x) g (x)

da man über den Betrag von

sin (x)

integriert, dachte ich, es wäre schlau, das Integral auf zu teilen, in ein Integral mit "-", obere Grenze

0,

untere Grenze

- π;

und ein Integral "+" obere Grenze

π,

untere Grenze 0. Allerdings kam ich hiermit nicht auf das Ergebnis: Summe

(k = 1

bis Unendlich)

\frac{{(- 1)}^{k + 1}}{(2 k - 1) (2 k + 1)}

mit dem Grenzwert

lim k

gegen unendlich=

\frac{π}{4} - \frac{1}{2}

. Daher meine Frage, ist mein Ansatz, den Betrag Sin(x) so zu integrieren Richtig? Was mir grad zu bedenken bringt, ist, dass ich ja sozusagen beim aufteilen des Integrals in

2,

ja einmal bis zur Null integriere, und dann einmal von der aus 0 Starte, die einzelnen Flächenelemente zu Summieren.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

13:19 Uhr, 09.09.2016

"Daher meine Frage, ist mein Ansatz, den Betrag Sin(x) so zu integrieren Richtig?"

Ja. Du musst

\int_{0}^{π} \sin (x) \sin (n x) d x

\int_{- π}^{0} \sin (x) \sin (n x) d x

und

\int_{0}^{π} \sin (x) \cos (n x) d x

\int_{- π}^{0} \sin (x) \cos (n x) d x

berechnen.

Z.B.

\int_{0}^{π} \sin (x) \sin (n x) d x = 0.5 \int_{0}^{π} \cos ((n - 1) x) - \cos ((n + 1) x) d x =

= \frac{1}{2 (n - 1)} [\sin ((n - 1) x)]_{0}^{π} - \frac{1}{2 (n + 1)} [\sin ((n + 1) x)]_{0}^{π} = 0

für

n \neq 1

und für

n = 1

muss man extra Berechnung machen. Usw.

DrBoogie aktiv_icon

13:25 Uhr, 09.09.2016

Und natürlich muss man

\int_{- π}^{0} \sin (x) \sin (n x) d x

nicht berechnen, wenn man schon

\int_{0}^{π} \sin (x) \sin (n x) d x

berechnet hat, denn durch die Substitution

y = - x

wird

\int_{- π}^{0} \sin (x) \sin (n x) d x = \int_{0}^{π} \sin (- y) \sin (- n y) d y =

= \int_{0}^{π} \sin (y) \sin (n y) d y

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