Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Bestimmung von Funktionen

Bestimmung von Funktionen

Schüler Berufsfachschulen,

Tags: Berühren

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
KroegerLena

KroegerLena aktiv_icon

17:31 Uhr, 19.04.2014

Antworten
Hallo,
wenn ich irgendeine Funktion bestimmen soll, z.B. eine ganzrationale Funktion dritten Grades und die eine von den Informationen lautet, der Graph berührt an der Stelle x=1 die x-Achse.

Dann hab ich mit dieser Information 2 Bedingungen:
1) Nullstelle(1/0)
2)f'(1)=0

Frage zur Bedingung 2:
Ist die Steigung hier 0, weil hier dann immer ein Extrema ist oder kann die Funktion auf der x-Achse (waagerecht=f'(x)=0) weiterlaufen, dh. es muss nicht unbedingt ein Extrempunkt sein.

Lg
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
magix

magix aktiv_icon

19:56 Uhr, 19.04.2014

Antworten
Aus der Formulierung "berührt die x-Achse" geht doch hervor, dass an genau diesem Punkt eine Berührung stattfindet und kurz daneben eben nicht. Berührung der x-Achse bedeutet, soviel ich weiß, immer eine doppelte Nullstelle und somit ein Extremum.

Gruß Magix
Antwort
anonymous

anonymous

20:48 Uhr, 19.04.2014

Antworten
Da muss ich widersprechen.

"Aus der Formulierung 'berührt die x-Achse' geht doch hervor, dass an genau diesem Punkt eine Berührung stattfindet und kurz daneben eben nicht."

Ich sehe nicht wie aus der Formulierung hervorgeht, dass "kurz daneben" keine Berührung mehr stattfinden soll. Da sollte dann im Aufgabentext "nur an der Stelle x=1" stehen. Ein "nur" bzw. etwas Ähnliches fehlt allerdings.

Aullerdings wird es trotzdem nur eine Berührstelle geben, da der Graph einer "ganzrationale[n] Funktion dritten Grades" die x-Achse höchstens an einer Stelle berühren kann.



"Berührung der x-Achse bedeutet, soviel ich weiß, immer eine doppelte Nullstelle und somit ein Extremum."

Nein, das stimmt so nicht. Bei einer doppelten Nullstelle wird die x-Achse immer berührt, soweit ist das richtig. Jedoch muss umgekehrt nicht an jeder Berührstelle mit der x-Achse eine doppelte Nullstelle vorliegen.

Eine Berührung bei zwei Kurven bedeutet üblicherweise, dass die Tangenten der Kurven am entsprechenden Berührpunkt übereinstimmen.
Hat man zwei Funktionsgraphen mit y=f(x) und y=g(x), bedeutet das, dass diese sich genau dann an einer Stelle x=x0 berühren, wenn f(x0)=g(x0) und f'(x0)=g'(x0) gilt.
Nun ist eine Kurve die x-Achse. Diesen Fall erhält man indem man beispielsweise die x-Achse als Graph der reellen Funktion g mit g(x)=0 für alle x∈ℝ auffässt. Dann folgt, dass ein Graph, beschrieben durch y=f(x), die x-Achse genau dann an einer Stelle x=x0 berührt, wenn f(x0)=f'(x0)=0 gilt.

Was an einer anderen Stelle x=x1 mit x1≠x0 passiert, ist dann dabei vollkommen irrelevant.


So berühren beispielsweise die folgenden Graphen Gk der Funktionen fk:ℝ→ℝ für k∈{1,2,3,4} die x-Achse jeweils an der Stelle x=1.

f1(x)=0 für 0<x<2,    f1(x)=x⋅(x-2) sonst
f2(x)=(x-1)2
f3(x)=(x-1)3
f4(x)=-(x-1)4

Siehe auch: Skizzen im Anhang

Nur G2 hat jedoch eine doppelte Nullstelle bei x=1.
Und G3 hat beispielsweise keine Extremstelle bei x=1.

beruehrung
KroegerLena

KroegerLena aktiv_icon

23:05 Uhr, 20.04.2014

Antworten
okay also stellen wir fest, dass berühren mit der x-Achse nicht automatisch Extrempunkt heißt :-) Die Bedingung f'(x)=0 gilt aber wegen der Steigung m=0 an der x-Achse.?

Danke für die Erklärung + Zeichnung

Antwort
anonymous

anonymous

23:30 Uhr, 20.04.2014

Antworten
"Die Bedingung f'(x)=0 gilt aber wegen der Steigung m=0 an der x-Achse.?"

Ja, genau.

(Wegen der Berührung, müssen die Tangenten, also insbesondere die Tangentensteigung, welche durch die erste Ableitung beschrieben wird, an der entsprechenden Stelle übereinstimmen. Und die x-Achse hat eben die entsprechende Steigung m=0, daher f'(x)=0.)
Frage beantwortet
KroegerLena

KroegerLena aktiv_icon

23:34 Uhr, 20.04.2014

Antworten
okay danke :-)