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Bestimmung von Integrationsfaktoren DGL

Universität / Fachhochschule

Tags: DGL, integrationsfaktoren

Matherolf aktiv_icon

19:35 Uhr, 02.01.2013

Hallo zusammen,
Ich versuche aus dem Buch "Differentialgleichungen für Dummys" von Steven Holzner versuche ich

(S . 40)

mir das Lösen von DGL´s anzueignen. Folgende DGL soll mit Hilfe durch "das Aufsuchen eines Inegrationsfaktors" zu lösen sein.

(1)

\frac{d y}{d t} + 2 y = 4

Das Einführen des noch zu bestimmenden Integrationsfaktors μ(t):

(2)

μ(t)dy/dt

+

μ(t)2y = 4μ(t)

Jetzt soll μ(t) so zu wählen sein, daß man die linke Seite der Gleichung als die Ableitung irgendeines Ausdrucks erkennen kann

Die Ableitung von μ(t)*

y

nach

t

ist:

d

[

μ(t)y]/dt = μ(t)*

\frac{d y}{d t} +

dμ(t)y/dt produktregel????

Durch einen Term für Term-Vergleich obiger Gleichungen soll man dann

dμ(t)/dt

= 2 \cdot

μ(t) erhalten. ????

Die weiteren Ausführungen des Buches kann ich wieder folgen.
Da ich schon vor sehr langer Zeit mein Studium abgeschlossen habe, wäre ich Euch wirklich dankbar, wenn man mir auf die Sprünge helfen könnte. Nochmals vielen Dank im voraus!!!!

pleindespoir aktiv_icon

22:35 Uhr, 02.01.2013

Ich tippe mal dass da eine e-Funktion rauskommen soll.

Das wäre auch eine Variante, wo Funktion und deren Ableitung ziemlich ähnlich sind, was ja wohl der Fall sein muss, sonst passts ja nicht.

Naja - und wenn man es auf einem anderen Weg löst, kommt auch eine e-Funktion raus ...

Gerd30.1 aktiv_icon

09:42 Uhr, 03.01.2013

Es handelt sich doch um eine einfache lineare DGL 1. Ordnung:

\frac{d y}{d x} + 2 y = 4

1. homogen

: \frac{d y}{d x} + 2 y = 0 \Leftrightarrow d y = - 2 y d x \Leftrightarrow \frac{d y}{y} = - 2 d x \Rightarrow ln y = - 2 x + C \Rightarrow y_{h} = e^{C} e^{- 2 x}

2. partikulär: Ansatz

y = A x + B \Rightarrow y' = A \Rightarrow A + 2 A x + 2 B = 4 \Rightarrow A = 0; B = 2 \Rightarrow y_{p} = 2

3. allgemein:

y = y_{h} + y_{p} = e^{C} e^{- 2 x} + 2

4. Probe:

y' + 2 y = - 2 e^{C} e^{- 2 x} + 2 (e^{C} e^{- 2 x} + 2) = 4

michaL aktiv_icon

11:59 Uhr, 03.01.2013

Hallo und guten Rutsch,

@Gerd30.1:
Wenn man schon so arbeitet, dann würde eine vorherige extremst einfache Substitution (

z := y - 2

) zu einer homogenen DGL führen, was weitere Schritte unnötig macht.

@Matherolf:
Der Integrationsfaktor soll bei dieser Art der DGL an die Produktregel erinnern. Ich bleibe mal bei deiner Schreibweise (

μ (t)

y ʹ + 2 y = 4

\overset{}{\Leftrightarrow} y ʹ \cdot μ (t) + 2 μ (t) \cdot y = 4 μ (t)

Wie gesagt: Wähle nun

μ (t)

so, dass der Term

y ʹ \cdot μ (t) + 2 μ (t) \cdot y

als per Produktregel abgeleitet angesehen werden kann. Erinnerung an Produktregel:

(u v) ʹ = u ʹ v + v ʹ u

.
Einfach kann man hier also

u

bzw.

u ʹ

zuordnen:

u = y

u ʹ = y ʹ

.
Dann muss aber

v = μ (t)

und

v ʹ = 2 μ (t)

gelten.
Daraus folgt die einfach homogene DGL

v ʹ = 2 v

, die man auch per Hinsehen lösen kann.
Mach mal und sieh dann weiter!

Gleicher Hinweis wie an Gerd30.1: eine vorgeschaltete Substitution vereinfacht die DGL zu einer homogenen, was aber bei dieser Methode kaum einen Vorteil bringt.

Mfg Michael

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