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Bestimmung von Restglied und Fehler zu kompliziert

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Fehlerabschätzung, Folgen und Reihen, Lagrange, Taylorpolynom

Shmurkio aktiv_icon

12:30 Uhr, 31.08.2025

Für den ersten Teil der Aufgabe soll ich das Taylorpolynom 4. Grades von

f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}

im Entwicklungspunkt

x_{0} = 0

bestimmen. Dafür habe ich

f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}} 4

mal abgeleitet und das Taylorpolynom erhalten:

T_{4} (x) = 1 - x^{2} + x^{4}

.

Dann sollte ich das Restglied nach Lagrange bestimmen, dafür habe ich

f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}

zum 5. mal abgeleitet, um

R_{4} (x) = \frac{f^{(5)} (ξ)}{5!} \cdot x^{5}

zu erhalten, mit

f^{(5)} = - 240 \cdot \frac{3 x^{5} - 10 x^{3} + 3 x}{{(1 + x^{2})}^{6}}

.

Dann sollte ich den Fehler für

x = 0,5

abschätzen, wofür ich

f (x)

zum 6. mal abgeleitet und gleich 0 gesetzt habe, damit ich den größten Wert von

f^{(5)}

bekomme. Nach vereinfachen kam ich auf die gleichung

7 x^{6} - 35 x^{4} + 21 x^{2} - 1 = 0

. Das stimmt und ich habe mit Wolfram Alpha für die Gleichung das richtige

x = 0,22824

herausbekommen, und wenn ich das für

ξ

im Restglied

R_{4} (0,5)

einsetze, bekomme ich das Ergebnis

0,026324

. Das ist das richtige Ergebnis, aber ich bin mir nicht sicher ob mein Lösungsweg gut ist, das das 6 malige Ableiten lange gedauert hat und ich die Aufgabe nicht ohne Wolfram Alpha lösen konnte. Gibt es einen besseren Lösungsweg für die Aufgabe?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

calc007

19:59 Uhr, 31.08.2025

Polynomdivision

michaL aktiv_icon

20:44 Uhr, 31.08.2025

Hallo,

der Weg sieht gut aus.

Wenn du nun vom Restglied nur den Zähler

3 x^{5} - 10 x^{3} + 3 x

nimmst, kannst du innerhalb des Intervalls

[0; 0, 5]

den Betragsgrößten Wert suchen über Ableitung.
Natürlich verlierst Du dabei Genauigkeit. Wenn das aber kein Problem darstellt, kannst du es sogar noch ein wenig stärker vereinfachen, indem du

3 x^{5} - 10 x^{3} + 3 x = 3 x (x^{4} - 10 / 3 x^{2} + 1)

faktorisierst und nur den Klammerteil untersuchst. (Wieder unter Verlust von Genauigkeit.)

Den Teil könntest du noch quadratischer Ergänzung umwandeln und erkennen, dass er im genannten Bereich monoton fallend ist. Dann könntest du den betrgasgrößten sofort in Null erkennen.

Vermutlich musst du schlicht mal fragen, ob diese Vorgehensweise akzeptiert würde.

Mfg Michael

HAL9000

08:45 Uhr, 01.09.2025

Irgendwie eine heftige Rechnung. Normalerweise begnügt man sich, das Restglied betragsmäßig grob nach oben abzuschätzen (also nicht eine umfängliche Extremwertuntersuchung anzustellen).

Übrigens bekommt man mit viel einfacherer Rechnung eine bessere Abschätzung des Approximationsfehlers (wenn auch nicht buchstabengetreu gemäß Aufgabenstellung):

Betrachte

f (x) = g (x^{2})

mit

g (x) = \frac{1}{1 + x}

, und es geht dann um eine Abschätzung von

f (0.5) = g (0.25)

. Da ist offenbar

g^{(k)} (x) = \frac{(- 1)^{k} k!}{(1 + x)^{k + 1}}

mit

T_{g, 2} (x) = 1 - x + x^{2}

sowie

R_{g, 3} (x) = - \frac{1}{(1 + ξ)^{4}} x^{3}

, was (betragsmäßig) am größten ist für

ξ = 0

, d.h. für das Restglied haben wir die Abschätzung

- \frac{1}{64} = - 0.015625 < R_{g, 3} (0.25) < 0

, und (wie oben versprochen) mit 0.015625 < 0.026324. ;-)

mathadvisor aktiv_icon

17:40 Uhr, 01.09.2025

"Abschätzen" ist was anderes als "Fehler bestimmen" oder "max. Fehler bestimmen", das ist doch vermutlich in der Lehrveranstaltung erklärt worden?!
Bei Deiner Überlegung geht außerdem

ξ

und

x

durcheinander, zumindest im Aufschrieb, das sind zwei versch. Größen. Ob es bei Dir auch rechnerisch durcheinander geht, weiß ich nicht (hab nicht nachgerechnet).
Abschätzen (nach oben) des Absolutbetrags des Restglieds (Motto: Zähler größer machen, Nenner kleiner) ist hier nicht so schwierig, da der Nenner stets

\geq 1

ist.

HAL9000

18:21 Uhr, 01.09.2025

> Bei Deiner Überlegung geht außerdem

ξ

und

x

durcheinander, zumindest im Aufschrieb

Falls das auf meinen Beitrag bezogen ist, weise ich das strikt zurück.

mathadvisor aktiv_icon

18:26 Uhr, 01.09.2025

Bezog sich auf die Ausgangsfrage ganz oben.

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