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Bestimmung von Re(z) und Lm(z) von z=(-1+i)^5

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen, Realteil Imaginärteil

Bu40_70 aktiv_icon

20:27 Uhr, 24.11.2016

Guten Abend,

ich komme bei einer Aufgabe leider überhaupt nicht weiter bzw. kann den Lösungsweg nicht verstehen.

Aufgabe: Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil von $z = {(- 1 + i)}^{5}$

Lösungsweg:

$z = {(- 1 + i)}^{5} = {(\sqrt{2} \cdot e^{(\frac{3}{4}) π \cdot i})}^{5}$

$= {\sqrt{2}}^{5} \cdot e^{(\frac{15}{4}) \cdot π \cdot i} = {\sqrt{2}}^{5} \cdot e^{(\frac{16}{4}) - (\frac{1}{4}) π \cdot i}$

$= {\sqrt{2}}^{5} \cdot e^{(- \frac{π}{4}) \cdot i} = 4 \cdot \sqrt{2} \cdot (cos (- \frac{π}{4}) + i \cdot sin (- \frac{π}{4}))$

$= 4 \cdot \sqrt{2} \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} i)$

$= 4 - 4 i$

Ich verstehe dort zum einen nicht weshalb er ${\sqrt{2}}^{5} \cdot e^{(\frac{15}{4}) \cdot π \cdot i}$ zu ${\sqrt{2}}^{5} \cdot e^{(\frac{16}{4}) - (\frac{1}{4}) π \cdot i}$ macht und warum dann $e^{(\frac{16}{4}) - (\frac{1}{4}) π \cdot i}$ zu $e^{(- \frac{π}{4}) \cdot i}$ wird.

Und dann verstehe ich nicht, wie er $4 \cdot \sqrt{2} \cdot (cos (- \frac{π}{4}) + i \cdot sin (- \frac{π}{4}))$ zu $4 \cdot \sqrt{2} \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} i)$ umformt. Ich nehme mal an er wird dort sin bzw. $cos$ angewendet haben. Dann würde mich interessieren wie er das gemacht hat (also wie $z . B$ . aus $cos (- \frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ wurde.

Ich wäre euch wirklich dankbar, wenn ihr mir da helfen könntet.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

anonymous

21:22 Uhr, 24.11.2016

Ist nicht gerade das Thema von dem ich viel weis aber ich glaube ich kann hier doch weiter helfen :-)

Bei $e^{\frac{16}{4} - \frac{1}{4} i π}$
fehlt eine klammer. Es müsste eigentlich so heißen:
$e^{(\frac{16}{4} - \frac{1}{4}) i π}$
$= {(e^{i π})}^{4} \cdot e^{- \frac{1}{4} i π}$
$= 1 \cdot e^{- \frac{1}{4} i π}$

Bezüglich der sin und $cos$ umformung: Das sind einfach die Werte ausgerechnet. Siehe $z . B$ . hier
de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Wichtige_Funktionswerte

Anmerkung:
Zumindest diese Aufgabe wäre durch ausmultiplizieren (Binomischer Lehrsatz) deutlich einfacher gewesen.

Bu40_70 aktiv_icon

21:32 Uhr, 24.11.2016

Da frag ich mich, wie das zustande kommt, dass $e^{{(π \cdot i)}^{4}}$ gleich 1 wird :-)

Weil im Prinzip geht es ja darum, dass man da $\frac{π}{4}$ hat, damit man das dann später mit $cos$ verrechnen kann... So hab ich es jedenfalls verstanden.

anonymous

21:35 Uhr, 24.11.2016

Nunja nicht $e^{{(i π)}^{4}}$ ist eins sondern ${(e^{i π})}^{4}$
Dazu kannst du dich ja fragen was $e^{i π}$ ist. Diese Formel ist eigentlich sehr bekannt :-)
Falls die Lösung doch unebkannt ist bekommst du die Lösung mit der eulerschen Formel

Bu40_70 aktiv_icon

21:38 Uhr, 24.11.2016

Ne ist mir nicht bekannt. Könntest du das ein wenig weiter ausführen also wegen $e^{π \cdot i}$ was das bedeutet?

Edit: Ok ich schau mir mal die Formel an. Ich glaub ich weis jetzt warum das so ist

anonymous

21:51 Uhr, 24.11.2016

Ansich ist dieser Schritt nicht notwenig. Man hätte auch mit $e^{\frac{15}{4} π i}$ weiter rechnen können.
Das wäre dann $cos (\frac{15}{4} π) + i \cdot sin (\frac{15}{4} π)$
sin und $cos$ verlaufen periodisch mit einer periode von $2 π$ .
$cos (2 π + \frac{3}{4} π) = cos (\frac{3}{4} π) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$
$sin (2 π + \frac{3}{4} π) = sin (\frac{3}{4} π) = + \frac{1}{\sqrt{2}}$
Man bekäme also das gleiche ergebnis.

Bu40_70 aktiv_icon

22:06 Uhr, 24.11.2016

Ok letzte frage: Ist $\frac{3}{4} \cdot π$ das selbe wie $\frac{π}{4}$ ? Weil die beiden haben ja anscheinend das selbe Ergebnis

ledum aktiv_icon

22:16 Uhr, 24.11.2016

Hallo
Nein, sieh dir doch mal die sin UND die $cos$ Funktion an!
Gruß ledum

anonymous

22:29 Uhr, 24.11.2016

Und ich stelle gerade fest das ich mich verrechnet habe
$\frac{15}{4} π$ sind natürlich nicht $2 π + \frac{3}{4} π$ sondern $2 π + \frac{7}{4} π$

Dann ist:
$cos (\frac{7}{4} π) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$sin (\frac{7}{4} π) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

(Oben sind die vorzeichen vertauscht)

So stimmt die rechnung auch wieder.

Nun zur Frage:
Also $\frac{1}{4} π$ und $\frac{3}{4} π$ sind natürlich nicht das gleiche. Auch nicht $\frac{1}{4} π$ und $\frac{7}{4} π$
Sondern
$cos (- \frac{1}{4} π) = cos (\frac{7}{4} π)$
und
$sin (- \frac{1}{4} π) = sin (\frac{7}{4} π)$

wenn du dir den abstand von $- \frac{1}{4} π$ und $\frac{7}{4} π$ anguckt. Der ist ja gerade wieder $2 π$

Bu40_70 aktiv_icon

00:26 Uhr, 25.11.2016

So ich habe mir das ganze noch mal angesehen und habs jetzt auch verstanden. Danke euch allen für eure Tipps und Denkanstöße, das hat mir sehr geholfen da auf die Lösung der Frage zu gelangen :-D)

Eine Frage habe ich aber noch und ich denke mal, dass hängt auch mit dem ganzen hier zusammen. Wenn ich eine komplexe zahl in Polarkoordinaten schreiben möchte, dann muss ich ja $φ$ bestimmen. Die "Formel" dazu lautet ja $φ = {tan}^{- 1} \frac{y}{x}$ .....(bzw. für $x < 0) ...$ . $φ = π + {tan}^{- 1} \frac{y}{x}$ .

Ich habe das bisher immer so gemacht, das ich $φ$ durch die Zeichnung der komplexen Zahl bestimmt habe. Aber das kann 1. niemals wirklich genau sein und 2. muss es ja irgendwie auch lösbar sein mir der $⊙ g$ . Formel. Meine Frage wäre nun wie das gehen soll. Gibt es dazu auch eine tabelle?

anonymous

02:24 Uhr, 25.11.2016

Dazu kann ich leider nichts sagen. Vllt antwortet hier ja noch jemand anderes. Falls nicht, dann mach einfach eine neue Frage auf.

HilbertRaum aktiv_icon

09:01 Uhr, 25.11.2016

Was ist denn ⊙g? Rechne den Winkel einfach so aus, wie du es bereits geschrieben hast: arctan.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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