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Bestimmung von Teilräumen und Faktorräumen

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Matrizenrechnung

Vektorräume

Tags: basis, faktorraum, Teilraum, Vektorraum

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12:45 Uhr, 25.09.2009

Hi,
ich hoffe man kann mir hier helfen. Ich schreibe am Dienstag meine Lineare Algebra Klausur und es sind noch einige Lücken zu schließen.

Zunächst die Aufgabe:

Sei

ℛ = 〈 (\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \\ 5 \\ 3 \end{array}), (\begin{array}{rcl} 2 \\ 4 \\ 10 \\ 6 \end{array}), (\begin{array}{rcl} 3 \\ - 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}), (\begin{array}{rcl} 2 \\ - 3 \\ - 4 \\ - 1 \end{array}) 〉

Bestimmen Sie eine Basis von

ℛ

sowie einen Teilraum

ℰ \leq ℚ^{4 \times 1}

mit

ℛ \oplus_{i} ℰ = ℚ^{4 \times 1} .

Geben Sie ferner eine Basis des Faktorraums

ℚ^{4 \times 1} / ℛ

an.

\ h l i n e

Na gut. Die Basis von

ℛ

kann man einfach durch den Gaussalgorithmus angewandt auf

(\begin{array}{rcl} 1 & 2 & 5 & 3 \\ 2 & 4 & 10 & 6 \\ 3 & - 1 & 1 & 2 \\ 2 & - 3 & - 4 & - 1 \end{array})

bestimmen:

(\begin{array}{rcl} 1 & 2 & 5 & 3 \\ 2 & 4 & 10 & 6 \\ 3 & - 1 & 1 & 2 \\ 2 & - 3 & - 4 & - 1 \end{array}) \to (\begin{array}{rcl} 1 & 2 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & - 14 & - 7 \\ 0 & - 7 & - 14 & - 7 \end{array}) \to (\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

Also bildet

((\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}), (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}))

eine Basis von

ℛ

.

Aber was sind denn jetzt dieser Teilraum und dieser Faktorraum?
Also der Teilraum wären ja dann die "fehlenden" Vektoren um ganz

ℚ^{4 \times 1}

zu konstruieren. Da würde ich dann einfach mal den 3. und 4. Einheitsvektor nehmen. Also

ℰ = (e_{3}, e_{4}) = ((\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}), (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}))

.

Und der Faktorraum? Bezeichne

r_{i}

den

i

-ten Basisvektor von

ℛ

. Ist das dann einfach:

(r_{1} + e_{3}, r_{2} + e_{4})

?

Achja wäre gut wenn ihr auch mal auf die Klammersetzung achtet, ich weiss nämlich nie ob ich geschweifte oder runde Klammern um die einzelnen Ergebnisse machen muss!

gruß

Thomas

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

Sina86

21:12 Uhr, 26.09.2009

Hi Thomas,

die direkte Summe, die du aufgestellt hast ist richtig. Du musst natürlich noch genau nachweisen, dass es auch wirklich eine direkte Summe ist :-)

Beim Faktorraum allerdings liegst du falsch. Dieser entsteht, indem man auf die Menge

ℚ^{4 \times 1}

eine Äquivalenzrelation legst. Nämlich

v \sim_{R} w \Leftrightarrow v - w \in R

. Bildlich bedeutet das also, es sind alle die Vektoren zueinander äquivalent, die durch einen Vektor in dem Unterraum

R

verbunden werden.

Der Faktorraum

ℚ^{4 \times 1} / R

ist dann nichts anderes als die Menge der Äquivalenzklassen

[v]_{R}

, wobei sich herausstellt, dass

[v]_{R} = v + R := {v + r ∣ r \in R}

ist. Versieht man die Menge

ℚ^{4 \times 1} / R

wieder mit zwei Verknüpfungen

[v]_{R} + [w]_{R} = [v + w]_{R}

und

λ \cdot [v]_{R} = [λ \cdot v]_{R}

, so erhält man auch wieder einen Vektorraum. Diesen nennt man dann den Faktorraum!

Lieben Gruß
Sina

Rentnerin

21:22 Uhr, 26.09.2009

Hallo,

für den Nachweis der direkten Summe wird wohl reichen, dass die vier Vektoren (die beiden Basisvektoren von R sowie

e_{3}

und

e_{4}

) linear unabhängig sind. Schreibt man sie in eine Matrix, dann entsteht eine Dreiecksmatrix mit Determinante ungleich 0.

Eine Basis für den Faktorraum müsste doch

(e_{3} + R, e_{4} + R)

sein.

Gruß Rentnerin

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