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Bestimmung zueinander orthogonaler Vektoren

Schüler Gymnasium,

Tags: orthogonal, Verktor

Jana203 aktiv_icon

13:33 Uhr, 25.11.2012

Hallo,

ich hoffe ihr könnt mir wieder helfen.

Die Aufgabe lautet:

Bestimmen sie alle Vektoren, die sowohl zum Vektor

\vec{a} = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{matrix})

als auch zum Vektor

\vec{b} = (\begin{matrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{matrix})

orthogonal sind.

Lösung (hab ich aus dem Buch):

\vec{x} = (\begin{matrix} x 1 \\ x 2 \\ x 3 \end{matrix})

\vec{a}

und zu

\vec{b}

orthogonal, so gilt:

3 \cdot x 1 + 2 \cdot x 2 + 4 \cdot x 3 = 0

6 \cdot x 1 + 5 \cdot x 2 + 4 \cdot x 3 = 0

Das dann in Stufenform umwandeln:

3 \cdot x 1 + 2 \cdot x 2 + 4 \cdot x 3 = 0

x 2 - 4 \cdot x 3 = 0 \to

ich verstehe nicht wie man darauf kommt!

Wählt man für

x 3 = t

als Parameter, so erhält man als Lösungsmenge

L = (- 4 t; 4 t; t)

Wieso muss muan für

x 3

einen Parameter wählen? Wieso nicht für

x 2

bzw

x 1

? Warum muss man überhaupt einen Parameter wählen?

Für die gesuchten Vektoren gilt dann:

\vec{x} = (\begin{matrix} - 4 t \\ 4 t \\ t \end{matrix}) (t \in ℝ)

Ich hoffe ihr könnt mir helfen...

LG Jana

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

13:36 Uhr, 25.11.2012

Ist dir das "Kreuzprodukt" ein Begriff?

Jana203 aktiv_icon

13:37 Uhr, 25.11.2012

Ja, schonmal gehört... ;-)

anonymous

13:45 Uhr, 25.11.2012

Mit dem Kreuzprodukt wärest du sofort fertig.
Es geht aber auch anders ( eher so wie deine Methode )
Unser gesuchte Vektor ist

(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})

Dieser Vektor steht normal auf

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}), d . h

. das "skalare Produkt" der beiden Vektoren muss 0 sein ( nachschauen, was das alles heisst ).
Also

(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}) = 3 \cdot x + 2 \cdot y + 4 \cdot z = 0

Mit dem zweiten Vektor ergibt sich die Gleichung

6 \cdot x + 5 \cdot y + 4 \cdot z = 0

Ich erkläre nun eine Koordinate

(z . B

z)

zum Parameter und berechne

x

bzw.

y

mit diesem Parameter.
Setze ich nun für

x, y

und

z

die gefundenen terme in den vektor ein, so erhalte ich ( wegen des Parameters ) alle vektoren, die sowohl auf den ersten als auch auf den zweiten vektor normal stehen.
Etwas mühsam !

Jana203 aktiv_icon

13:49 Uhr, 25.11.2012

Achso das ist wirklich mühsam... Kannst du mir die schnelle Methode mit dem Kreuzprodukt erklären?
Habe in meinen Unterlagen folgendes stehen:

(\begin{matrix} a 1 \\ a 2 \\ a 3 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b 1 \\ b 2 \\ b 3 \end{matrix})

und dann wie man das ausrechnen würde... Das ist das doch oder? Damit kann man das berechnen?

anonymous

13:55 Uhr, 25.11.2012

Ja, das ist das. Die Rechenvorschriften sind etwas komisch

(. .

. und müssen genau befolgt werden )
http//de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt#Komponentenweise_Berechnung
Damit bekommt man aber genau einen Vektor ( von eigentlich unendlich vielen ). Um deine Aufgabe zu erfüllen, knalle vor dem Vektor einfach einen Parameter

t

hin.
Das Kreuzprodukt liefert

(\begin{matrix} - 12 \\ 12 \\ 3 \end{matrix})

da es sich um einen Richtungsvektor handelt, kann ich mit einer beliebigen Zahl multiplizieren bzw. durch eine Zahl dividieren ( hier

z . B

: 3),

ergibt dann

(\begin{matrix} - 4 \\ 4 \\ 1 \end{matrix})

bzw.

t \cdot (\begin{matrix} - 4 \\ 4 \\ 1 \end{matrix})

Jana203 aktiv_icon

14:03 Uhr, 25.11.2012

Ok vielen Dank, das ist einfacher. Das was bei Wiki staht, habe ich auch in meinem Heft, muss ich noch auswendig lernen.

Ich hätte noch zwei Fragen an dich: Was genau ist ein Parameter?
Wenn man eine Koordinate/Variable zum Parameter macht, was ändert sich dann? Ich verstehe auch nicht warum man sowas einfach machen darf...

Dann habe ich noch folgende Aufgabe gerechnet:

Bestimmen Sie die fehlende Koordinate so, dass

\vec{a}

orthogonal zu

\vec{b}

ist.

\vec{a} = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}), \vec{b} = (\begin{matrix} b 1 \\ - 4 \\ 3 \end{matrix})

Ich habe

b 1 = 6,

das müsste stimmen oder? Das mit dem Skalarprodukt kann ich nämlich glaube ich.

LG Jana

Achja und das Kreuzprodukt drückt jetzt was genau aus?

anonymous

14:06 Uhr, 25.11.2012

Bezüglich "Parameter" muss ich auf Buch bzw. Wiki verweisen ( wäre hier zu ausufernd ).

Jana203 aktiv_icon

14:07 Uhr, 25.11.2012

Achso ok :-) Und das Kreuzprodukt?

anonymous

14:10 Uhr, 25.11.2012

Neue Aufgabe, neuer thread.
Aber mach' mas schnell.
Zwei vektoren stehen aufeinander normal, wenn das skalare produkt 0 ist.

(\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b_{1} \\ - 4 \\ 3 \end{matrix}) = 2 \cdot b_{1} + 3 \cdot (- 4) + 0 \cdot 3

2 \cdot b_{1} + 3 \cdot (- 4) + 0 \cdot 3 = 0

2 \cdot b_{1} - 12 = 0 \Rightarrow b_{1} \Rightarrow b_{1} = 6

Jana203 aktiv_icon

14:11 Uhr, 25.11.2012

Okay danke :-)

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