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Betrag Argument Gaußsche Zahlenebene

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

needhelp123 aktiv_icon

19:02 Uhr, 27.06.2016

Ich habe folgende Aufgabenstellung :

Ermitteln sie den Betrag so wie das Argument der Komplexen Zahl und geben sie diese ungefähr in der Gaußschen Zahlenebene an :

\sqrt{-} i

nun weiss ich das betrag

| r | =

srqt

a^{2} + b^{2}

und das Argument

r (cos (φ) + i (sin (φ))

ich habe nun die Lösung in der nur steht

- i = e^{(\frac{3}{2}) π i}

\sqrt{-} i = {e^{(\frac{3}{4}) π i}; e^{(\frac{7}{4}) π i}}

wie kommt man nun auf diesen Bereich der Gaußschen Zahlenebene das

- i = - i = e^{(\frac{3}{2}) π i}

ergibt ist mir klar da aber wieso jetzt

\frac{3}{4}

? wie kommt man auf diese 4 ?

Danke für jede Art von Hilfe . Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pleindespoir aktiv_icon

19:38 Uhr, 27.06.2016

- i = 1 \cdot e^{i \frac{3}{2} π}

\sqrt{- i} = \sqrt{1} \cdot e^{i \frac{\frac{3}{2} π}{2}}

Betrag wird gewurzelt - Winkelargument halbiert

\sqrt{- i} = \sqrt{1} \cdot e^{i \frac{3}{4} π}

R e = \cos \frac{3}{4} π

I m = \sin \frac{3}{4} π

es gibt noch eine weitere Lösung!

needhelp123 aktiv_icon

21:14 Uhr, 27.06.2016

Das verstehe ich doch wie kommt man dann auf die

e^{\frac{7}{4}} \cdot π i

in der Gaußschen Zahlenebene ?

Die

e^{\frac{3}{4}} \cdot π i

sind mir jetzt völlig klar , und vielen dank dafür ! :-)

ledum aktiv_icon

00:02 Uhr, 28.06.2016

Hallo
jede komplexe Zahl lässt sich als

r \cdot e^{i φ + k \cdot 2 π i}

schreiben.

k = 0, \pm 1, \pm 2, ...

.
wenn man nur eine Zahl angeben will lässt man die

e^{k \cdot 2 π \cdot i} = 1

meist weg, beim Wurzelziehen geht das aber nicht mehr. hier bei der 2 ten Wurzel Hättest du auch noch schreiben komme

e^{\frac{3}{4} π \cdot i}

und

- e^{\frac{3}{4} π \cdot i}

aber bei höheren Wurzeln reicht das

\pm

nicht mehr es gibt im komplexen zu jeder

n

ten Wurzel

n

verschiedene Werte!
die

e (^\frac{7}{4} \cdot i π) = e^{\frac{3}{4} \cdot π \cdot i} \cdot e^{π \cdot i}

und

e^{π \cdot i} = - 1

Gruß ledum

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