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Betrag der Spur einer orthogonalen nxn-Matrix

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Lineare Abbildungen

Matrizenrechnung

Tags: Eigenwert, Linear Abbildung, orthogonale Matrix, Spur

UL-2014

15:25 Uhr, 15.05.2015

Die Frage lautet:

zeigen Sie, dass für orthogonale nxn-Matrizen A trets |tr

A | \leq n

gilt, und bestimmen Sie alle

A \in O (n)

mit |tr

A | = n

.

Ich habe mir folgendes überlegt:
Aus der Vorlesung ist bekannt, dass, falls

T : V \to V

orthogonal, alle Eigenwerte

λ

von

T

den Betrag 1 haben. Außerdem haben wir gezeigt, dass für komplexe nxn-Matrizen gilt:
tr

A = \sum_{i = 1}^{n} (λ_{i})

.

Kann ich für den ersten Teil wie folgt argumentieren?

- Orthogonale Matrizen haben mindestens einen komplexen Eigenwert.
- Für alle EWe gilt

| λ_{i} | = 1

.
- Für

λ_{i} \in ℂ

gilt |tr

A | = | \sum_{i = 1}^{n} (λ_{i}) |

- | \sum_{i = 1}^{n} (λ_{i}) | \leq \sum_{i = 1}^{n} | (λ_{i}) | = n

- Also ist |tr

A | \leq n

.

Oder geht das nicht, weil ich die Spurformel nur für komplexe Matrizen anwenden darf?

Für den zweiten Teil:
Sei |tr

A | = n

. Dann muss gelten

| \sum_{i = 1}^{n} (λ_{i}) | = \sum_{i = 1}^{n} | (λ_{i}) | = n

Also muss

λ_{i} = | λ_{i} |

sein, oder? (Koeffizientenvergleich)
Dann müsste |tr

A | = n

gelten für alle

A \in O (n),

deren Eigenwerte echt gleich 1 sind.

Oder geht das so nicht?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sina86

21:59 Uhr, 18.05.2015

Hallo,

so ganz einfach kannst du das nicht sagen. Nicht jede orthogonale Matrix besitzt einen Eigenwert (z.B. Drehmatrizen im 2-dimensionalen). Du hast aber recht bei den unitären Matrizen ist jeder Eigenwert betragsmäßig gleich eins. Du kannst aber deine Argumentation bezüglich der Abschätzung anwenden, da du jede reelle Matrix als komplexe Matrix sehen kannst. Daher kannst du dann den Satz über die Eigenwerte im komplexen anwenden.

Die zweite Schlussfolgerung stimmt nicht. Du kannst beispielsweise eine quadratische Matrix haben mit zweimal 1 auf der Diagonalen (z.B. Einheitsmatrix im 2-dimensionalen), oder mit zweimal -1. Jedoch keine "Mischung" von 1 und -1 etc.

Lieben Gruß
Sina

UL-2014

11:44 Uhr, 19.05.2015

Vielen Dank!

Stimmt, die Matrix muss ja nicht symmetrisch (also die Abbildung selbstadjungiert) sein.

Funktioniert es so?
Für jede orthogonale Matrix bilden Zeilen und Spalten Orthonormalsysteme, also ist die Länge der Zeilen-/Spaltenvektoren gleich eins. Damit müssen alle Einträge der Matrix vom Betrag kleinergleich Betrag von eins sein, demnach auch die Einträge auf der Hauptdiagonalen. Also:

|a_(ii)|

\leq | 1 |

|tr

A | = | \sum_{i = 1}^{n}

a_(ii)|

\leq \sum_{i = 1}^{n}

|a_(ii)|

\leq \sum_{i = 1}^{n} | 1 | = n

Für |tr

A | = n

müsste gelten:

| \sum_{i = 1}^{n}

a_(ii)|

= \sum_{i = 1}^{n}

|a_(ii)|

= \sum_{i = 1}^{n} | 1 | = n

Deshalb müssen alle Einträge auf der Hauptdiagonalen entweder 1 oder

- 1

sein, und da A orthogonal, kommt nur

A = \pm E_{n}

in Frage.
Also, ich habe schon verstanden, dass das nur entweder eins oder minus eins sein darf, aber wie schreibe ich das sauber auf?

(Und wie sage ich dem Editor, dass ich zwei

i' s

als Index haben möchte?)

Sina86

10:56 Uhr, 20.05.2015

Hallo,

zunächst einmal, diese Argumentation ohne Umweg über die komplexen Zahlen ist viel besser :-)

Wenn man ganz pedantisch ist, müsste man nun zwei kleine Beweise führen:

\forall a_{i} \in [0, 1], i = 1, . . ., n : \sum_{i = 1}^{n} a_{i} = n \Rightarrow a_{i} = 1, i = 1, . . ., n

und dann

\forall a_{i} \in [- 1, 1] \ {0} : ∣ \sum_{i = 1}^{n} a_{i} ∣ = n \Rightarrow s g n (a_{i}) = s g n (a_{j}), i = 1, . . ., n, j = 1, . . ., n

wobei

s g n : ℝ \ {0} \to {-, +}

mit

s g n (x) = -

, wenn

x < 0

und

s g n (x) > 0

, wenn

x > 0

.

Manche würden behaupten, das sei trivial, aber ich weiß nicht, ob ihr das sagen dürft ;-) Streng genommen sind beides Sätze, die per Induktion über

n

geführt werden sollten.

Grüße
Sina

P.S.: Ach ja, und du solltest noch erwähnen, warum aus dem Argument mit der Orthonormalbasis folgt, dass kein Eintrag

> 1

sein kann, was aber aus der Definition des euklidischen Skalarproduktes folgt.

UL-2014

11:47 Uhr, 22.05.2015

Ah, genau das hatte mir noch gefehlt - ich muss halt üben, Beweise sauber zu führen... :-)

Vielen Dank!

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