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Betrag eines Vektor's Fehler

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Tags: Tangentialeinheitsvektor, Vektor

CarlaColumna aktiv_icon

14:37 Uhr, 01.05.2017

Hallo,

ich habe den Vektor:

\vec{s}' (t) = (\begin{matrix} 1 + \frac{t}{\sqrt{1 - t^{2}}} \\ 1 - \frac{t}{\sqrt{1 - t^{2}}} \end{matrix})

Und muss jetzt den Betrag dieses Vektor berechnen.

{| \vec{s}' (t) |}^{2} = \sqrt{{(1 + \frac{t}{\sqrt{1 - t^{2}}})}^{2} + {(1 - \frac{t}{\sqrt{1 - t^{2}}})}^{2}}

In meiner Musterlösung steht:

{| \vec{s}' (t) |}^{2} = \frac{1}{1 - t^{2}} \cdot ({(\sqrt{1 - t^{2}} + t)}^{2} + {(\sqrt{1 - t^{2}} - t)}^{2})

= \frac{2}{1 - t^{2}} \cdot (1 - t^{2} + t^{2}) = \frac{2}{1 - t^{2}} \neq 0

Das stimmt doch nicht? Jedenfalls hänge ich schon eine Weile dran und komme nicht darauf.

Ich habe hingegen wie folgt gerechnet:

\vec{s}' (t) = (\begin{matrix} 1 + \frac{t}{\sqrt{1 - t^{2}}} \\ 1 - \frac{t}{\sqrt{1 - t^{2}}} \end{matrix})

mit

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

und

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Sieht man ja, dass die mittleren Terme sich aufheben und ich erhalte dann:

{| \vec{s}' (t) |}^{2} = \sqrt{1 + 1 + \frac{t^{2}}{1 - t^{2}} + \frac{t^{2}}{1 - t^{2}}} = \sqrt{2 + \frac{2 t^{2}}{1 - t^{2}}}

Zu dem obigen Term komme ich jedoch nicht. Lässt sich das doch vllt irgendwie umformen?

Besten Dank,

Gruß

Carla

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

ermanus aktiv_icon

15:17 Uhr, 01.05.2017

Hallo CarlaColumna,

du willst doch das Quadrat (!!!)

∣ s ʹ (t) ∣^{2}

berechnen, dann fällt die große Wurzel
rechts ja weg und

2 + \frac{2 t^{2}}{1 - t^{2}}

ist dasselbe wie

\frac{2}{1 - t^{2}}

.

Törö! und Gruß ermanus

rundblick aktiv_icon

15:36 Uhr, 01.05.2017

..
anders verklickert:

für einen Vektor

\vec{v} = (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})

ist

{| \vec{v} |}^{2} \to

NICHT WIE DU SCHREIBST

= {(a + b)}^{2}

Tipp: für gut Informierte ist es nämlich so

\to {| \vec{v} |}^{2} = a^{2} + b^{2}

ok?
.

CarlaColumna aktiv_icon

15:42 Uhr, 01.05.2017

Hallo,

ja der Betrag eines Vektors ist definiert als

| \vec{s} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

bei

\vec{s} = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

Wieso jedoch berechnet man das Quadrat des Betrages wenn man die Tangentialeinheitsvektoren:

{\vec{T}}_{s} = \frac{\vec{s}' (t)}{| \vec{s}' (t) |}

berechnen will. Daher kommt die Verwirrung.

Aber stimmt jetzt erkenne ich's auch

\frac{2}{1 - t^{2}} = 2 + \frac{2 t^{2}}{1 - t^{2}}

Danke Euch.

Carla

@ Rundblick, die binomische Formel war auf die Berechnung der einzelnen Komponenten des Vektors bezogen, aber ja ich stimme zu.

ermanus aktiv_icon

15:47 Uhr, 01.05.2017

Vielleicht will man zunächst nicht diese leidige Groß-Wurzel
mitschleppen, sondern erst ganz am Schluss, wenn der übersichtliche
Ausdruck für das Quadrat der Länge dasteht, zur Länge durch Wurzelziehen
übergehen. Das empfand der Musterlöser vermutlich als "ökonomischer".

CarlaColumna aktiv_icon

16:04 Uhr, 01.05.2017

Hallo,

nun was so okönomisch in der Mathematik ist, weiß ich nicht :-P)

Vor allem wenn ich dann

\frac{\vec{s}' (t)}{| \vec{s}' (t) |}

berechnen soll?

Jedenfalls ist irgendwie der Wurm drin heute.

Als Endresultat soll

{\vec{T}}_{s} = (\begin{matrix} \sqrt{1 - t^{2}} + t \\ \sqrt{1 - t^{2}} - t \end{matrix}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}

herauskommen.

Also:

\vec{s}' (t) = (\begin{matrix} 1 + \frac{t}{\sqrt{1 - t^{2}}} \\ 1 - \frac{t}{\sqrt{1 - t^{2}}} \end{matrix})

ist berechnet und passt.

Der Betrag wurde ja an sich nicht explizit berechnet in der Musterlösung daher bin ich ja verwirrt, wozu wir das Quadrat des Betrages bilden.

Daher hatte ich urspünglich geschrieben, dass ich für

| \vec{s}' (t) |

| \vec{s}' (t) | = \sqrt{2 + \frac{2 t^{2}}{1 - t^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1 - t^{2}}}

Ja gut, das passt dann... sorry das Quadrat des Betrages hat mich einfach unnötigerweise verwirrt.

Danke nochmals schönen Resttag noch :-)

Carla

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